Mechanika

Třetí Keplerův zákon

Po jednom celém oběhu porovnej změřené T²/r³ s 4π²/GM.

Třetí Keplerův zákon — interaktivní simulace Mechanika. Po jednom celém oběhu porovnej změřené T²/r³ s 4π²/GM. Bezplatná virtuální fyzikální laboratoř v prohlížeči se živými měřeními v SI a řízeným tutoriálem.

Třetí Keplerův zákon

Pro kruhovou dráhu je druhá mocnina periody úměrná třetí mocnině poloměru: T² ∝ r³.

Spojení dostředivé síly s gravitací dává oběžnou dobu. Porovnání T a r pro různé dráhy odhalí stejný poměr T²/r³ pro danou centrální hmotu.

• T²/r³ = 4π²/GM
• v = 2πr/T

Souhrn zkoumání

Naplánuj otázku dřív, než otevřeš laboratoř

Stručný přehled odpovídá předrenderované stránce: hlavní otázka, konkurenční predikce, role proměnných, řídicí zákony, sestavení, analýza i rozšiřující podněty zůstávají viditelné a v tomto pořadí.

Hlavní otázka

Družice obíhá centrální hmotu na stabilní kruhové dráze. Když ji přesuneš na větší poloměr dráhy, jak se změní doba jednoho celého oběhu?

Predikce k zvážení

• Větší dráha trvá na oběh déle.
• Perioda zůstává při každém poloměru stejná.
• Větší dráha trvá na oběh méně.

Role proměnných

Co nastavuješ:

• Poloměr dráhy r (m)

Co měříš:

• Rychlost po kružnici v (m/s)
• Naměřená perioda T (s)

Jak zkoumání probíhá

1. Otevři předvolbu grav-kepler-law. Družice obíhá centrální hmotu; oběžová časomíra a sonda periody jsou už připojeny.
2. Nastav poloměr dráhy r družice, pak ji vystřel bokem rychlostí kruhové dráhy zobrazenou na kartě vzorce v = √(GM/r), aby dráha zůstala kruhová.
3. Nech družici dokončit alespoň jeden celý kruh a odečti oběžnou dobu T z časomíry, jakmile je dráha ustálená.

Řídící rovnice

Třetí Keplerův zákon — T² / r³ = 4π² / GM

Pro libovolnou dráhu kolem dané centrální hmoty je druhá mocnina periody úměrná třetí mocnině středního poloměru: T²/r³ = 4π²/GM. Poměr je stejný pro každou dráhu, takže změření jedné dráhy při známém poloměru odhalí GM.

Rychlost po kruhové dráze — v = √(GM / r)

Těleso na kruhové dráze o poloměru r musí letět rychlostí v = √(GM/r): rychlost, při níž gravitace dodává přesně potřebnou dostředivou sílu. Vystřelení touto rychlostí drží dráhu kruhovou, ne eliptickou.

Co tisknutelný pracovní list žádá žáky vypočítat

• Pro každý řádek spočti T²/r³. Jsou tři hodnoty zhruba stejné? Porovnej jejich průměr s 4π²/GM pomocí GM = 40 (takže 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
• Tvá čára T² vs r³ by měla procházet počátkem. Vysvětli, proč ten tvar přímky počátkem je přesně to, co predikuje T² = (4π²/GM)·r³, a co představuje směrnice.

Kde se to objevuje mimo laboratoř

• Skutečné planety dodržují tentýž zákon: Merkur (malá dráha) oběhne Slunce za 88 dní, zatímco Neptun (velká dráha) potřebuje 165 let. Použij T²/r³ = konstanta a vysvětli tento obrovský rozdíl.
• Keplerova konstanta je tu 4π²/GM, takže závisí na centrální hmotě, ne na družici. Predikuj, co se stane s periodou každé dráhy, kdyby se GM centrálního tělesa zdvojnásobilo.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Vítej v Keplerově zákonu
2. Vyber družici
3. Stiskni Spustit
4. Perioda a poloměr
5. Otevři data
6. Povedlo se!

Otevři interaktivní simulaci, postav scénu, stiskni Spustit a prozkoumávej s živými měřeními a řízeným tutoriálem.

Otevřít interaktivní laboratoř →

Stáhnout pracovní list →

Keplerovy zákony planetárního pohybu