Tepelné stroje a Carnotova účinnost
Tepelné stroje a Carnotův limit
Tepelný stroj vezme teplo z teplého zdroje, změní část z něj na užitečnou práci a zbytek vyhodí jako odpadní teplo do chladnějšího místa. Žádný stroj — bez ohledu na to, jak dobře je postaven — nedokáže přeměnit všechno to teplo na práci; část se vždy musí vyhodit. Nejlepší možná účinnost, jaké by stroj kdy dosáhl, závisí jen na tom, jak horké a jak studené jsou jeho dva zásobníky.
Vzorec
η = 1 − T_c / T_h
- η — účinnost (—): zlomek tepelné energie, který stroj přemění na užitečnou práci
- T_c — teplota studeného zásobníku (K): teplota studeného místa, kam se vyhazuje odpadní teplo
- T_h — teplota teplého zásobníku (K): teplota teplého zdroje dodávajícího teplo stroji
Řešený příklad
Teplý zásobník elektrárny, pára, je na 400 kelvinech a její studený zásobník, říční voda, na 300 kelvinech. Jaká je nejlepší možná účinnost pro stroj pracující mezi nimi?
- T_h = 400 K
- T_c = 300 K
- η = 1 − T_c / T_h
- η = 1 − 300 K / 400 K
η = 0.25 = 25%
Ověř se
Tepelný stroj běží mezi teplým zásobníkem na 800 kelvinech a studeným na 200 kelvinech. Jaká je jeho maximální možná účinnost?
- 25%
- Správná odpověď: 75%
- 50%
Správně! η = 1 − 200 K / 800 K = 1 − 0.25 = 75%.
Která změna by zvýšila maximální možnou účinnost tepelného stroje?
- Zvýšit teplotu studeného zásobníku
- Snížit teplotu teplého zásobníku
- Správná odpověď: Snížit teplotu studeného zásobníku
Ano! Chladnější studený zásobník dělá T_c / T_h menší, takže jedna mínus ten poměr — účinnost — se zvětší.
Kde to vidíš
Skutečné elektrárny jsou postaveny kolem tohoto limitu: pára z kotle o stovkách kelvinů roztáčí turbíny a zbytkové teplo musí být vypuštěno do řeky, jezera nebo ikonických chladicích věží — studený zásobník je stejnou součástí elektrárny jako pec. Mezi parou 400 K a říční vodou 300 K žádný kdy postavený stroj nepřekoná 25 %.
Časté chyby
Zakořeněný mýtus je, že dost šikovný inženýr by dokázal přeměnit teplo celé na práci — Carnotův limit závisí jen na dvou teplotách zásobníků, ne na řemeslném umu. Algebraická past je zastavit se u poměru: η = 1 − T_c / T_h znamená, že 800 K horké a 200 K studené dává 1 − 0.25 = 75 %, ne 25 %. A teploty jsou v kelvinech, jako vždy v termodynamice.
Jak to souvisí
Tady se mechanika setkává s termodynamikou: účetnictví stroje je zachování energie — teplo dovnitř se rovná práce ven plus vypuštěné teplo — proto je prerekvizitou této lekce samotné zachování energie. Nedosažitelnost 100 % je druhý zákon, který se ohlašuje dřív: odpadní teplo je daň entropie, zúčtovaná v další lekci.