Μηχανική

Σάρωση ίσων εμβαδών

Οι σκιερές νηίδες από την M έως το ίχνος ξεκαθαρίζουν ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους.

Σάρωση ίσων εμβαδών — διαδραστική προσομοίωση Μηχανική. Οι σκιερές νηίδες από την M έως το ίχνος ξεκαθαρίζουν ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Δωρεάν εικονικό εργαστήριο φυσικής στον φυλλομετρητή με ζωντανές μετρήσεις σε μονάδες SI και καθοδηγούμενο μάθημα.

Δεύτερος νόμος του Kepler

Μια ευθεία από την κεντρική μάζα προς τον δορυφόρο σαρώνει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους — ο δορυφόρος κινείται πιο γρήγορα όταν είναι πιο κοντά.

Η διατήρηση της στροφορμής εξηγεί γιατί η τροχιακή ταχύτητα μεγαλώνει κοντά στο περιήλιο. Οι σαρώσεις ίσων εμβαδών είναι ορατές ως σκιερά τμήματα στη σκηνή σε αυτή την προεπιλογή.

• dA/dt = σταθερά
• L = mvr sin θ = σταθερά

Σύνοψη έρευνας

Σχεδίασε την ερώτηση πριν ανοίξεις το εργαστήριο

Η σύνοψη κατοπτρίζει την προαποτυπωμένη σελίδα: η βασική ερώτηση, οι αντικρουόμενες προβλέψεις, οι ρόλοι των μεταβλητών, οι κύριοι νόμοι, η διάταξη, η ανάλυση και οι προεκτάσεις παραμένουν ορατά και με αυτή τη σειρά.

Βασική ερώτηση

Δορυφόρος σε ελλειπτική τροχιά εκτοξεύεται πλάγια στο περιήλιο (εγγύτερη προσέγγιση). Καθώς ταξιδεύει έως το απόηλιο και πίσω, η ευθεία που τον ενώνει με την κεντρική μάζα σαρώνει εμβαδόν ταχύτερα κοντά στο περιήλιο, ταχύτερα κοντά στο απόηλιο, ή με τον ίδιο ρυθμό παντού;

Προβλέψεις προς σταθμίσει

• Η ευθεία ακτίνας σαρώνει εμβαδόν ταχύτερα κοντά στο περιήλιο, όπου ο δορυφόρος κινείται ταχύτερα.
• Η ευθεία ακτίνας σαρώνει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους — ο ίδιος ρυθμός παντού στην τροχιά.
• Η ευθεία ακτίνας σαρώνει εμβαδόν ταχύτερα κοντά στο απόηλιο, όπου ο δορυφόρος έχει τον περισσότερο χώρο να κινηθεί.

Ρόλοι μεταβλητών

Τι ρυθμίζεις:

• Ακτίνα περιηλίου r_p (m)
• Ακτίνα απηλίου r_a (m)

Τι μετράς:

• Ταχύτητα διαφυγής στο περιήλιο v_esc (m/s)
• Ειδική στροφορμή h (m²/s)

Πώς εκτελείται η έρευνα

1. Άνοιξε την προσομοίωση ίσων εμβαδών και πάτησε Επαναφορά. Η κεντρική μάζα κάθεται στη μέση της σκηνής με βαρυτική παράμετρο GM = 40 m³/s², και τα σκιερά τμήματα τομέων χαράσσουν το εμβαδόν που σαρώνει η ευθεία ακτίνας του δορυφόρου.
2. Ενεργοποίησε τον αισθητήρα ειδικής στροφορμής (h) και τον αισθητήρα εκκεντρότητας (e) στον δορυφόρο ώστε και οι δύο αναλλοίωτοι να δείχνονται ζωντανοί.
3. Για κάθε δοκιμή παρακάτω, ρύθμισε την ακτίνα περιηλίου r_p και την ακτίνα απηλίου r_a, εκτόξευσε τον δορυφόρο από το περιήλιο με καθαρά πλάγια (εφαπτομενική) ταχύτητα, πάτησε Αναπαραγωγή, και άσε τον να ολοκληρώσει τουλάχιστον μία πλήρη τροχιά πριν καταγράψεις τη σταθεροποιημένη ένδειξη h.

Κυρίαρχη εξίσωση

Ταχύτητα διαφυγής — v_esc = √(2GM / r)

Η ελάχιστη ταχύτητα σε ακτίνα r που θα άφηνε τον δορυφόρο να απελευθερωθεί από την κεντρική μάζα. Η πραγματική ταχύτητα περιηλίου του δορυφόρου μένει κάτω από αυτή την τιμή, ώστε η τροχιά παραμένει δέσμια — κλειστή έλλειψη που σαρώνει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους.

Ταχύτητα κυκλικής τροχιάς — v = √(GM / r)

Η εφαπτομενική ταχύτητα που παράγει τέλειο κύκλο σε ακτίνα r. Εκτόξευση ταχύτερα από αυτή στο περιήλιο (όπως κάθε ελλειπτική δοκιμή εδώ) στέλνει τον δορυφόρο προς τα έξω σε μακρινό απόηλιο πριν η βαρύτητα τον τραβήξει πίσω.

Τι ζητά να επεξεργαστούν οι μαθητές το εκτυπώσιμο φύλλο εργασίας

• Για μία τροχιά, σημείωσε την ένδειξη h στο περιήλιο και ξανά στο απόηλιο. Εντός σφάλματος ανάγνωσης πρέπει να ταιριάζουν. Χρησιμοποιώντας h = r·v, εξήγησε γιατί ο δορυφόρος πρέπει να κινείται βραδύτερα όταν το r είναι μεγάλο (απόηλιο) και ταχύτερα όταν το r είναι μικρό (περιήλιο) για να κρατήσει το h σταθερό.
• Το εμβαδόν που σαρώνεται ανά μονάδα χρόνου είναι dA/dt = h/2. Εφόσον το h είναι σταθερό, ίσα εμβαδά σαρώνονται σε ίσους χρόνους. Χρησιμοποίησε το μετρημένο h σου για την πρώτη τροχιά για να υπολογίσεις το dA/dt, και επιβεβαίωσε ότι το h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) αναπαράγει την τιμή που διάβασες από την προσομοίωση.
• Σύγκρινε την ταχύτητα περιηλίου του δορυφόρου (v_p = h/r_p) με την ταχύτητα διαφυγής v_esc που υπολόγισες για κάθε γραμμή. Είναι το v_p πάνω ή κάτω από το v_esc, και τι σου λέει αυτό για το αν η τροχιά μένει δέσμια;

Πού εμφανίζεται αυτό πέρα από το εργαστήριο

• Ο κομήτης Halley σαρώνει δίπλα στον Ήλιο σε μήνες αλλά παίρνει δεκαετίες για να σέρνεται πίσω από το εξωτερικό ηλιακό σύστημα. Χρησιμοποιώντας τον νόμο ίσων εμβαδών, εξήγησε γιατί ένας κομήτης ξοδεύει τόσο λίγο της τροχιάς του κοντά στον Ήλιο και τόσο μακριά από αυτόν.
• Η ειδική στροφορμή h = r·v δεν μεταφέρει όρο μάζας. Αν διπλασίαζες τη μάζα του δορυφόρου αλλά τον εκτόξευες πανομοιότυπα, θα άλλαζε το μετρημένο h; Θα άλλαζε η πλήρης στροφορμή του L = m·r·v; Εξήγησε τη διαφορά.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Καλώς όρισες στον Νόμο των ίσων εμβαδών
2. Επίλεξε τον δορυφόρο
3. Πάτησε Αναπαραγωγή
4. Ίσα εμβαδά
5. Άνοιξε τα δεδομένα
6. Το κατάφερες!

Άνοιξε τη διαδραστική προσομοίωση για να χτίσεις τη σκηνή, πάτησε Αναπαραγωγή και εξερεύνησε με ζωντανές μετρήσεις και καθοδηγούμενο μάθημα.

Άνοιγμα Διαδραστικού Εργαστηρίου →

Λήψη φύλλου εργασίας →

Νόμοι Kepler για την πλανητική κίνηση