Mekaniikka

Yhtä suuret pinta-alat

Varjostetut sektorit keskuskappaleesta M rataan pyyhkäisevät yhtä suuret pinta-alat yhtä suurissa ajoissa.

Yhtä suuret pinta-alat – interaktiivinen Mekaniikka-simulaatio. Varjostetut sektorit keskuskappaleesta M rataan pyyhkäisevät yhtä suuret pinta-alat yhtä suurissa ajoissa. Ilmainen selaimessa toimiva virtuaalinen fysiikkalaboratorio, jossa on reaaliaikaiset SI-mittaukset ja opastettu tutoriaali.

Keplerin toinen laki

Viiva keskimassasta satelliittiin pyyhkäisee yhtä suuret pinta-alat yhtä suurissa ajoissa – satelliitti liikkuu nopeammin ollessaan lähempänä.

Pyörimismäärän säilyminen selittää, miksi kiertonopeus kasvaa lähellä radan lähipistettä. Yhtä suuret pinta-alapyyhkäisyt näkyvät varjostettuina sektoreina näyttämöllä tässä esiasetuksessa.

• dA/dt = vakio
• L = mvr sin θ = vakio

Tutkimustiivistelmä

Suunnittele kysymys ennen laboratorion avaamista

Tiivistelmä vastaa esirendattua sivua: tutkimuskysymys, kilpailevat ennusteet, muuttujien roolit, hallitsevat lait, kokoonpano sekä analyysi- ja laajennuskysymykset pysyvät näkyvissä tässä järjestyksessä.

Tutkimuskysymys

Ellipsiradalla oleva satelliitti laukaistaan sivuttain perihelissä (lähimmässä kulmassa). Kun se liitää ulos afheeliin ja takaisin, pyyhkäiseekö sen keskimassaan yhdistävä viiva pinta-alaa nopeammin lähellä periheliä, nopeammin lähellä afheeliä vai samalla nopeudella kaikkialla?

Punniteltavat ennusteet

• Säteiviiva pyyhkäisee pinta-alaa nopeimmin lähellä periheliä, jossa satelliitti liikkuu nopeimmin.
• Säteiviiva pyyhkäisee yhtä suuret pinta-alat yhtä suurissa ajoissa – samalla nopeudella kaikkialla radalla.
• Säteiviiva pyyhkäisee pinta-alaa nopeimmin lähellä afheeliä, jossa satelliitilla on eniten tilaa liikkua.

Muuttujien roolit

Mitä asetat:

• Perihelin säde r_p (m)
• Afheelin säde r_a (m)

Mitä mittaat:

• Pakonopeus perihelissä v_esc (m/s)
• Ominaispyörimismäärä h (m²/s)

Miten tutkimus etenee

1. Avaa yhtä suuret pinta-alat -simulaatio ja paina Nollaa. Keskimassa istuu näytön keskellä gravitaatioparametrillä GM = 40 m³/s², ja varjostetut sektorikiilat jäljittävät pinta-alan, jonka satelliitin säteiviiva pyyhkäisee.
2. Ota käyttöön ominaispyörimismäärän anturi (h) ja eksentrisyysanturi (e) satelliitissa, jotta molemmat invariantit näkyvät reaaliajassa.
3. Jokaiselle alla olevalle suoritukselle aseta perihelin säde r_p ja afheelin säde r_a, laukaise satelliitti perihelistä puhtaasti sivuttaisella (tangentialisella) nopeudella, paina Toista ja anna sen suorittaa vähintään yksi täysi kierto ennen asettuneen h-lukeman kirjaamista.

Hallitseva yhtälö

Pakonopeus — v_esc = √(2GM / r)

Pienin nopeus säteellä r, joka antaisi satelliitin irrotautua keskimassasta. Satelliitin todellinen perihelin nopeus pysyy tämän arvon alapuolella, joten rata pysyy sidottuna – suljettuna ellipsinä, joka pyyhkäisee yhtä suuret pinta-alat yhtä suurissa ajoissa.

Ympyräratanopeus — v = √(GM / r)

Tangentialinen nopeus, joka tuottaa täydellisen ympyrän säteellä r. Nopeammin laukaiseminen perihelissä (kuten jokainen tämän eksperimentin ellipsisuoritus tekee) lähettää satelliitin ulos kaukaiseen afheeliin, ennen kuin painovoima vetää sen takaisin.

Mitä tulostettava työarkki pyytää opiskelijoita selvittämään

• Yhdelle kierrokselle kirjaa h-lukema perihelissä ja uudelleen afheelissä. Lukemavirheen sisällä niiden pitäisi sopia yhteen. Käyttäen kaavaa h = r·v selitä, miksi satelliitin on liikuttava hitaammin, kun r on suuri (afheeli), ja nopeammin, kun r on pieni (periheli), pitääkseen h:n vakiona.
• Aikayksikköä kohden pyyhkäisty pinta-ala on dA/dt = h/2. Koska h on vakio, yhtä suuret pinta-alat pyyhkäistään yhtä suurissa ajoissa. Käytä ensimmäisen kierroksen mitattua h:ta laskemaan dA/dt ja varmista, että h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) toistaa simulaatiosta lukeman arvon.
• Vertaa satelliitin perihelin nopeutta (v_p = h/r_p) kullekin riville laskemaasi pakonopeuteen v_esc. Onko v_p arvon v_esc ylä- vai alapuolella, ja mitä se kertoo siitä, pysyykö rata sidottuna?

Missä tämä näkyy laboratorion ulkopuolella

• Halley'n komeetti vilahtaa Auringon ohi kuukausissa mutta vie vuosikymmeniä ryömiä takaisin ulkopoolaisesta aurinkokunnasta. Käyttäen yhtä suurien pinta-alojen lakia selitä, miksi komeetti viettää niin vähän rataansa Auringon lähellä ja niin paljon kaukana.
• Ominaispyörimismäärä h = r·v ei kanna massatermiä. Jos kaksinkertaistaisit satelliitin massan mutta laukaisisit sen identtisesti, muuttuisiko mitattu h? Muuttuisiko sen täysi pyörimismäärä L = m·r·v? Selitä ero.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Tervetuloa yhtä suuriin pinta-aloihin
2. Valitse satelliitti
3. Paina Toista
4. Yhtä suuret pinta-alat
5. Avaa data
6. Onnistuit!

Avaa interaktiivinen simulaatio rakentaaksesi kohtauksen, paina Toista ja tutki reaaliaikaisten mittausten ja opastetun tutoriaalin kanssa.

Avaa interaktiivinen laboratorio →

Lataa työarkki →

Keplerin planeettaliikkeen lait