Keplerin toinen laki: yhtä suuret pinta-alat ja pyörimismäärä

1 · Ennusta

Ellipsiradalla oleva satelliitti laukaistaan sivuttain perihelissä (lähimmässä kulmassa). Kun se liitää ulos afheeliin ja takaisin, pyyhkäiseekö sen keskimassaan yhdistävä viiva pinta-alaa nopeammin lähellä periheliä, nopeammin lähellä afheeliä vai samalla nopeudella kaikkialla?

• Säteiviiva pyyhkäisee pinta-alaa nopeimmin lähellä periheliä, jossa satelliitti liikkuu nopeimmin.
• Säteiviiva pyyhkäisee yhtä suuret pinta-alat yhtä suurissa ajoissa – samalla nopeudella kaikkialla radalla.
• Säteiviiva pyyhkäisee pinta-alaa nopeimmin lähellä afheeliä, jossa satelliitilla on eniten tilaa liikkua.

2 · Kokoa

1. Avaa yhtä suuret pinta-alat -simulaatio ja paina Nollaa. Keskimassa istuu näytön keskellä gravitaatioparametrillä GM = 40 m³/s², ja varjostetut sektorikiilat jäljittävät pinta-alan, jonka satelliitin säteiviiva pyyhkäisee.
2. Ota käyttöön ominaispyörimismäärän anturi (h) ja eksentrisyysanturi (e) satelliitissa, jotta molemmat invariantit näkyvät reaaliajassa.
3. Jokaiselle alla olevalle suoritukselle aseta perihelin säde r_p ja afheelin säde r_a, laukaise satelliitti perihelistä puhtaasti sivuttaisella (tangentialisella) nopeudella, paina Toista ja anna sen suorittaa vähintään yksi täysi kierto ennen asettuneen h-lukeman kirjaamista.

3 · Kerää data

Kuvaa mitattu ominaispyörimismäärä h (y-akseli) perihelin sädetä r_p vasten (x-akseli) kolmelle ratallesi. Katsele sitten yksittäisen kierroksen kulkua ja hahmottele, miten satelliitin nopeus muuttuu perihelistä afheeliin – missä se on nopein ja missä hitain?

4 · Analysoi

1. Yhdelle kierrokselle kirjaa h-lukema perihelissä ja uudelleen afheelissä. Lukemavirheen sisällä niiden pitäisi sopia yhteen. Käyttäen kaavaa h = r·v selitä, miksi satelliitin on liikuttava hitaammin, kun r on suuri (afheeli), ja nopeammin, kun r on pieni (periheli), pitääkseen h:n vakiona.
2. Aikayksikköä kohden pyyhkäisty pinta-ala on dA/dt = h/2. Koska h on vakio, yhtä suuret pinta-alat pyyhkäistään yhtä suurissa ajoissa. Käytä ensimmäisen kierroksen mitattua h:ta laskemaan dA/dt ja varmista, että h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) toistaa simulaatiosta lukeman arvon.
3. Vertaa satelliitin perihelin nopeutta (v_p = h/r_p) kullekin riville laskemaasi pakonopeuteen v_esc. Onko v_p arvon v_esc ylä- vai alapuolella, ja mitä se kertoo siitä, pysyykö rata sidottuna?

5 · Laajenna

1. Halley'n komeetti vilahtaa Auringon ohi kuukausissa mutta vie vuosikymmeniä ryömiä takaisin ulkopoolaisesta aurinkokunnasta. Käyttäen yhtä suurien pinta-alojen lakia selitä, miksi komeetti viettää niin vähän rataansa Auringon lähellä ja niin paljon kaukana.
2. Ominaispyörimismäärä h = r·v ei kanna massatermiä. Jos kaksinkertaistaisit satelliitin massan mutta laukaisisit sen identtisesti, muuttuisiko mitattu h? Muuttuisiko sen täysi pyörimismäärä L = m·r·v? Selitä ero.

Tämän kokeen fysiikka

← Takaisin kokeeseen

138 ilmaista tulostettavaa fysiikan työarkkia