Ellipsiradat: energia, pakonopeus ja eksentrisyys

1 · Ennusta

Satelliitti laukaistaan sivuttain säteeltä r keskimassan ympäri nopeudella, joka on ympyräratanopeuden alapuolella. Piirtääkö se suljetun ellipsin, pitääkö täydellisen ympyrän vai lentääkö tiehensä eikä koskaan palaudu?

2 · Kokoa

  1. Avaa ellipsirata-simulaatio ja paina Nollaa. Keskimassa istuu näytön keskellä gravitaatioparametrillä GM = 40 m³/s².
  2. Ota käyttöön energia- ja eksentrisyysanturit satelliitissa, jotta molemmat invariantit näkyvät reaaliajassa.
  3. Jokaiselle alla olevalle suoritukselle sijoita satelliitti säteelle r x-akselille, anna sille puhtaasti sivuttainen (tangentialinen) laukaisunopeus v, paina Toista ja anna sen suorittaa vähintään yksi kierto ennen asettuneiden anturilukemien kirjaamista.

3 · Kerää data

Gravitaatioparametri GM (m³/s²)Laukaisusäde r (m)Tangentialinen laukaisunopeus v (m/s)Pakonopeus v_esc (m/s)Ominaiskiertoenergia ε (J/kg)Eksentrisyys e
40.002.004.00
40.003.203.00
40.004.002.40
40.005.002.00

Kuvaa mitattu eksentrisyys e (y-akseli) ominaiskiertoenergiaa ε vasten (x-akseli). Kun ε nousee kohti nollaa, mitä radan muodolle tapahtuu?

4 · Analysoi

  1. Laske ominaiskiertoenergia ε = v²/2 − GM/r jokaiselle riville ja varmista etumerkki. Mitä negatiivinen ε kertoo siitä, onko satelliitti sidottu keskimassaan?
  2. Vertaa jokaista laukaisunopeutta v laskemaasi pakonopeuteen v_esc. Laukaisu on tangentialinen, joten h = r·v; osoita, että e = √(1 + 2εh²/GM²) toistaa simulaatiosta lukeman eksentrisyyden, ja selitä, miksi pakonopeutta lähempänä oleva laukaisu antaa venyneemmän ellipsin.

5 · Laajenna

  1. Kummallekin laukaisusäteelle, mikä tangentialinen nopeus kääntäisi ellipsin täydelliseksi ympyräksi? (Vihje: v_circ = √(GM/r).) Onko taulukkosi laukaisunopeus tämän arvon ylä- vai alapuolella, ja miten se selittää radan muodon?
  2. Pitkäperiodisilla komeetoilla on eksentrisyydet lähellä arvoa 1. Mitä se merkitsee niiden nopeudesta lähimmässä kulmassa verrattuna paikalliseen pakonopeuteen – ja miksi ne eivät aivan pakene Auringosta?

Tämän kokeen fysiikka

Pakonopeus

Pienin tangentialinen nopeus säteellä r, joka antaisi satelliitin paeta keskimassasta. Laukaisu tämän nopeuden alapuolella pitää ε:n negatiivisena ja radan sidottuna – ellipsinä eikä irtonaisena ratana.

Ympyräratanopeus

Tangentialinen nopeus, joka tuottaa täydellisen ympyrän säteellä r. Hitaammin laukaiseminen (kuten jokaisessa tässä suorituksessa) pudottaa satelliitin sisäänpäin vapautuksen jälkeen, piirtäen ellipsin, jonka laukaisupiste on kauimmainen apoapsis.

← Takaisin kokeeseen

Mekaniikka

138 ilmaista tulostettavaa fysiikan työarkkia