Mécanique

Balayage d'aires égales

Les secteurs ombrés de M à la trajectoire balaient des aires égales en des temps égaux.

Balayage d'aires égales — simulation interactive de Mécanique. Les secteurs ombrés de M à la trajectoire balaient des aires égales en des temps égaux. Laboratoire virtuel de physique gratuit dans le navigateur, avec mesures SI en direct et tutoriel guidé.

Deuxième loi de Kepler

Une ligne allant de la masse centrale au satellite balaie des aires égales en des temps égaux — le satellite se déplace plus vite quand il est plus proche.

La conservation du moment cinétique explique pourquoi la vitesse orbitale augmente près du périapside. Les balayages d'aires égales sont visibles comme des secteurs ombrés sur la scène dans ce préréglage.

• Loi des aires dA/dt = constante
• L = mvr sans θ = constante

Mémoire d'enquête

Planifiez la question avant d'ouvrir le laboratoire

Le brief reprend la page pré-rendue  : question directrice, prédictions concurrentes, rôles des variables, lois directrices, préparation et consignes d’analyse et de prolongement restent visibles et dans cet ordre.

Question de conduite

Un satellite sur une orbite elliptique est lancé latéralement au périhélie (approche la plus proche). Alors qu'il se dirige vers l'aphélie et revient, la ligne qui le relie à la masse centrale balaie-t-elle la zone plus rapidement près du périhélie, plus rapidement près de l'aphélie, ou au même rythme partout ?

Des pronostics à peser

• La ligne de rayon balaie la zone la plus rapide près du périhélie, là où le satellite se déplace le plus rapidement.
• La ligne de rayon balaie des zones égales en des temps égaux – au même rythme partout sur l’orbite.
• La ligne de rayon balaie la zone la plus rapide près de l'aphélie, là où le satellite a le plus de place pour se déplacer.

Rôles variables

Ce que vous définissez  :

• Rayon du périhélie r_p (m)
• Rayon de l'aphélie r_a (m)

Ce que vous mesurez  :

• Vitesse de fuite au périhélie v_esc (m/s)
• Moment cinétique spécifique h (m²/s)

Comment se déroule l'enquête

1. Ouvrez la simulation à zones égales et appuyez sur Réinitialiser. La masse centrale se trouve au milieu de la scène avec le paramètre gravitationnel GM = 40 m³/s², et les secteurs ombrés tracent la zone balayée par la ligne de rayon du satellite.
2. Activez la sonde de moment angulaire spécifique (h) et la sonde d'excentricité (e) sur le satellite afin que les deux invariants soient affichés en direct.
3. Pour chaque essai ci-dessous, définissez le rayon du périhélie r_p et le rayon de l'aphélie r_a, lancez le satellite depuis le périhélie avec une vitesse purement latérale (tangentielle), appuyez sur Lecture et laissez-le terminer au moins une orbite complète avant d'enregistrer la lecture h réglée.

Équation gouvernante

Vitesse de fuite — v_esc = √(2GM / r)

La vitesse minimale au rayon r qui permettrait au satellite de se libérer de la masse centrale. La vitesse réelle du périhélie du satellite reste inférieure à cette valeur, de sorte que l'orbite reste limitée – une ellipse fermée qui balaie des zones égales en des temps égaux.

Vitesse orbitale circulaire — v = √(GM / r)

La vitesse tangentielle qui produit un cercle parfait de rayon r. Un lancement plus rapide que cela au périhélie (comme le fait chaque essai elliptique ici) envoie le satellite vers un aphélie lointain avant que la gravité ne le ramène.

Ce que la feuille de travail imprimable demande aux élèves de résoudre

• Pour une orbite, notez la valeur de h au périhélie puis à l'aphélie. Aux erreurs de lecture près, elles devraient coïncider. À l'aide de h = r·v, expliquez pourquoi le satellite doit se déplacer plus lentement quand r est grand (aphélie) et plus vite quand r est petit (périhélie) pour garder h constant.
• La surface balayée par unité de temps est dA/dt = h/2. Puisque h est constant, des zones égales sont balayées en des temps égaux. Utilisez votre h mesuré pour la première orbite pour calculer dA/dt et confirmez que h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) reproduit la valeur que vous avez lue sur la simulation.
• Comparez la vitesse du périhélie du satellite (v_p = h/r_p) à la vitesse de fuite v_esc que vous avez calculée pour chaque ligne. Est-ce que v_p est au-dessus ou en dessous de v_esc, et qu'est-ce que cela vous dit sur le fait que l'orbite reste liée ?

Où cela apparaît au-delà du laboratoire

• La comète de Halley passe devant le Soleil en quelques mois, mais met des décennies à revenir du système solaire externe. À l’aide de la loi des aires égales, expliquez pourquoi une comète passe si peu de son orbite près du Soleil et une grande partie de son orbite au loin.
• Le moment cinétique spécifique h = r·v ne comporte aucun terme de masse. Si vous doubliez la masse du satellite mais le lanciez de manière identique, la h mesurée changerait-elle ? Son moment cinétique complet L = m·r·v changerait-il ? Expliquez la différence.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Bienvenue dans Aires égales gravitationnelles
2. Sélectionnez le satellite
3. Appuyez sur Lecture
4. Aires égales
5. Ouvrez les données
6. Bravo !

Ouvrez la simulation interactive pour construire la scène, appuyez sur Lecture et explorez avec des mesures en direct et un tutoriel guidé.

Ouvrir le laboratoire interactif →

Télécharger la fiche de laboratoire →

Lois de Kepler du mouvement planétaire