Deuxième loi de Kepler : aires égales et moment angulaire
1 · Prédire
Un satellite sur une orbite elliptique est lancé latéralement au périhélie (approche la plus proche). Alors qu'il se dirige vers l'aphélie et revient, la ligne qui le relie à la masse centrale balaie-t-elle la zone plus rapidement près du périhélie, plus rapidement près de l'aphélie, ou au même rythme partout ?
- La ligne de rayon balaie la zone la plus rapide près du périhélie, là où le satellite se déplace le plus rapidement.
- La ligne de rayon balaie des zones égales en des temps égaux – au même rythme partout sur l’orbite.
- La ligne de rayon balaie la zone la plus rapide près de l'aphélie, là où le satellite a le plus de place pour se déplacer.
2 · Configurer
- Ouvrez la simulation à zones égales et appuyez sur Réinitialiser. La masse centrale se trouve au milieu de la scène avec le paramètre gravitationnel GM = 40 m³/s², et les secteurs ombrés tracent la zone balayée par la ligne de rayon du satellite.
- Activez la sonde de moment angulaire spécifique (h) et la sonde d'excentricité (e) sur le satellite afin que les deux invariants soient affichés en direct.
- Pour chaque essai ci-dessous, définissez le rayon du périhélie r_p et le rayon de l'aphélie r_a, lancez le satellite depuis le périhélie avec une vitesse purement latérale (tangentielle), appuyez sur Lecture et laissez-le terminer au moins une orbite complète avant d'enregistrer la lecture h réglée.
3 · Collecter les Données
| Rayon du périhélie r_p (m) | Rayon de l'aphélie r_a (m) | Vitesse de fuite au périhélie v_esc (m/s) | Moment cinétique spécifique h (m²/s) |
|---|---|---|---|
| 2.50 | 5.00 | ||
| 2.00 | 6.00 | ||
| 3.00 | 4.00 |
Tracez le moment cinétique spécifique mesuré h (axe y) par rapport au rayon du périhélie r_p (axe x) pour vos trois orbites. Ensuite, en observant une seule orbite, dessinez comment la vitesse du satellite change du périhélie à l'aphélie : où est-il le plus rapide et où est-il le plus lent ?
4 · Analyser
- Pour une orbite, notez la valeur de h au périhélie puis à l'aphélie. Aux erreurs de lecture près, elles devraient coïncider. À l'aide de h = r·v, expliquez pourquoi le satellite doit se déplacer plus lentement quand r est grand (aphélie) et plus vite quand r est petit (périhélie) pour garder h constant.
- La surface balayée par unité de temps est dA/dt = h/2. Puisque h est constant, des zones égales sont balayées en des temps égaux. Utilisez votre h mesuré pour la première orbite pour calculer dA/dt et confirmez que h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) reproduit la valeur que vous avez lue sur la simulation.
- Comparez la vitesse du périhélie du satellite (v_p = h/r_p) à la vitesse de fuite v_esc que vous avez calculée pour chaque ligne. Est-ce que v_p est au-dessus ou en dessous de v_esc, et qu'est-ce que cela vous dit sur le fait que l'orbite reste liée ?
5 · Approfondir
- La comète de Halley passe devant le Soleil en quelques mois, mais met des décennies à revenir du système solaire externe. À l’aide de la loi des aires égales, expliquez pourquoi une comète passe si peu de son orbite près du Soleil et une grande partie de son orbite au loin.
- Le moment cinétique spécifique h = r·v ne comporte aucun terme de masse. Si vous doubliez la masse du satellite mais le lanciez de manière identique, la h mesurée changerait-elle ? Son moment cinétique complet L = m·r·v changerait-il ? Expliquez la différence.
La physique derrière cette expérience
Vitesse de fuite
La vitesse minimale au rayon r qui permettrait au satellite de se libérer de la masse centrale. La vitesse réelle du périhélie du satellite reste inférieure à cette valeur, de sorte que l'orbite reste limitée – une ellipse fermée qui balaie des zones égales en des temps égaux.
Vitesse orbitale circulaire
La vitesse tangentielle qui produit un cercle parfait de rayon r. Un lancement plus rapide que cela au périhélie (comme le fait chaque essai elliptique ici) envoie le satellite vers un aphélie lointain avant que la gravité ne le ramène.