Le leggi di Keplero
Le leggi di Keplero sul moto dei pianeti
I pianeti non descrivono cerchi perfetti — percorrono ellissi (cerchi stirati) col Sole in un fuoco, non al centro. Avvicinandosi al Sole accelerano, allontanandosi rallentano, spazzando aree uguali in tempi uguali. Più larga è l'orbita, più lungo è l'anno: il periodo al quadrato cresce col cubo della dimensione dell'orbita.
La formula
T² = k · a³
- T — periodo (yr): il tempo che il pianeta impiega per un'orbita completa
- a — semiasse maggiore (AU): la distanza media del pianeta dal Sole
- k — costante di proporzionalità (yr²/AU³): vale 1 per qualsiasi corpo in orbita attorno al nostro Sole in queste unità
Esempio risolto
Un pianeta orbita il Sole con semiasse maggiore di 4 unità astronomiche. Quanti anni per un'orbita?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 anni
Mettiti alla prova
Un altro pianeta orbita con semiasse di 9 unità astronomiche. Qual è il suo periodo?
- 9 anni
- 81 anni
- Risposta corretta: 27 anni
Corretto! T² = a³ = 9³ = 729, e la radice quadrata di 729 è 27 anni.
Lungo l'orbita ellittica, dove un pianeta è più veloce?
- Risposta corretta: Al punto più vicino al Sole
- Al punto più lontano dal Sole
- La velocità non cambia mai
Giusto! Aree uguali in tempi uguali esigono che il pianeta acceleri al massimo avvicinandosi al Sole.
Dove lo vedi
Ogni pianeta del sistema solare, ogni luna attorno a un pianeta, e ogni satellite attorno alla Terra traccia un'ellisse obbedendo a queste tre leggi — furono scoperte da osservazioni a occhio nudo di Marte decenni prima che Newton spiegasse perché la gravità produce esattamente questo comportamento. Le comete su ellissi molto allungate mostrano la seconda legge più drammaticamente, vorticando attorno al Sole al primo passaggio e muovendosi lentamente vicino al loro punto più lontano.
Errori comuni
È facile immaginare le orbite planetarie come cerchi con il Sole al centro — le orbite reali sono ellissi con il Sole in uno dei fuochi, non al centro, ed è per questo che la distanza di un pianeta dal Sole cambia effettivamente nel corso dell'anno. Gli studenti talvolta assumono che un pianeta si muova a velocità costante — la seconda legge dice il contrario: un pianeta accelera vicino al Sole e rallenta lontano da esso, spazzando aree uguali in tempi uguali comunque.
Come si collega
Keplero scoprì questi tre modelli adattando le posizioni osservate di Marte ai dati, decenni prima che Newton mostrasse che derivano tutti da un'unica legge di forza: la gravitazione universale combinata con il moto centripeto. Insieme, la gravitazione e le leggi di Keplero concludono la sequenza di meccanica che iniziò con la caduta libera — lo stesso insieme di idee (forza, accelerazione, energia, quantità di moto) che descrive una palla lasciata cadere descrive anche un intero sistema solare.