L'equazione della lente sottile

Una lente piega i raggi così che si rincontrino in un punto, formando un'immagine. Dove si forma dipende da quanto l'oggetto è lontano dalla lente e da quanto forte la lente piega la luce — la distanza focale. L'equazione lega le tre distanze: conoscendone due trovi la terza.

La formula

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

  • f — distanza focale (m): quanto forte la lente piega la luce — dove convergono i raggi paralleli
  • dₒ — distanza oggetto (m): quanto è lontano l'oggetto dalla lente
  • dᵢ — distanza immagine (m): quanto è lontana l'immagine dalla lente

Esempio risolto

Una lente convergente ha focale di 10 cm. Un oggetto sta 30 cm davanti. A quale distanza si forma l'immagine?

  • f = 10 cm
  • dₒ = 30 cm
  1. 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
  2. 1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

Mettiti alla prova

Con la stessa lente da 10 cm, se l'oggetto è spostato a 20 cm, a quale distanza si forma l'immagine?
  • 10 cm
  • Risposta corretta: 20 cm
  • 30 cm

Giusto! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm, quindi dᵢ = 20 cm.

Per l'esempio originale (dₒ = 30 cm, dᵢ = 15 cm), qual è l'ingrandimento, e che cosa ti dice sull'immagine?
  • Risposta corretta: m = −0.5 — invertita e dimezzata
  • m = 0.5 — diritta e dimezzata
  • m = −2 — invertita e doppia

Sì — m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0.5, quindi l'immagine è capovolta e alta metà dell'oggetto.

Dove lo vedi

Un proiettore che imprime un'immagine nitida su un muro è questa equazione in azione: troppo vicino o troppo lontano e l'immagine sfoca, perché per una data lente e una data distanza dello schermo esiste una sola distanza dell'oggetto che mette a fuoco. Il tuo stesso occhio la applica senza sosta — il suo cristallino cambia forma per tenere l'immagine di qualunque cosa tu guardi a fuoco sulla retina.

Errori comuni

Il primo scivolone è trattare la distanza dell'immagine come una proprietà della sola lente — si muove insieme all'oggetto: con una focale di 10 cm, un oggetto a 30 cm forma l'immagine a 15 cm, ma spostalo a 20 cm e l'immagine si sposta a 20 cm, secondo 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ. Il secondo è leggere l'ingrandimento in modo approssimativo: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 racchiude in un solo numero due fatti — il segno meno dice che l'immagine è invertita, lo 0.5 dice che è grande la metà.

Come si collega

Una lente è rifrazione messa al lavoro: due superfici curve che piegano ciascuna i raggi secondo la legge di Snell, sagomate in modo che tutte le deviazioni convergano — e dove convergono è proprio ciò che questa equazione predice. L'equazione dello specchio, subito dopo, si rivela la stessa identica algebra con la riflessione al posto della rifrazione, una delle piacevoli sorprese del modulo.

Prova la simulazione interattiva

Concetti correlati