Seconda legge di Keplero: aree uguali e momento angolare

1 · Prevedi

Un satellite su orbita ellittica è lanciato lateralmente al perielio (minima distanza). Mentre costeggia fino all'afelio e ritorna, la linea che lo unisce alla massa centrale spazza area più in fretta al perielio, più in fretta all'afelio o allo stesso ritmo ovunque?

• Il raggio vettore spazza area più in fretta al perielio, dove il satellite è più rapido.
• Il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali: stesso ritmo su tutta l'orbita.
• Il raggio vettore spazza area più in fretta all'afelio, dove c'è più spazio per muoversi.

2 · Configurazione

1. Apri la simulazione delle aree uguali e premi Reset. La massa centrale siede al centro della scena con parametro gravitazionale GM = 40 m³/s², e gli spicchi settoriali ombreggiati tracciano l'area che la linea di raggio del satellite spazza.
2. Attiva la sonda di momento angolare specifico (h) e quella di eccentricità (e) sul satellite.
3. Per ogni prova qui sotto, imposta raggio di perielio r_p e afelio r_a, lancia il satellite dal perielio con velocità puramente tangenziale, premi Play e lascia completare almeno un'orbita prima di registrare l'h assestato.

3 · Raccogli dati

Traccia l'h misurato (asse y) contro il raggio di perielio r_p (asse x) per le tre orbite. Poi, osservando una sola orbita, abbozza come cambia la velocità dal perielio all'afelio: dov'è massima, dove minima?

4 · Analizza

1. Per un'orbita, annota la lettura di h al perielio e di nuovo all'afelio. Entro l'errore di lettura dovrebbero coincidere. Usando h = r·v, spiega perché il satellite deve muoversi più lentamente quando r è grande (afelio) e più velocemente quando r è piccolo (perielio) per mantenere h costante.
2. L'area spazzata per unità di tempo è dA/dt = h/2. Poiché h è costante, aree uguali vengono spazzate in tempi uguali. Usa il tuo h misurato per la prima orbita per calcolare dA/dt, e conferma che h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) riproduce il valore letto dalla simulazione.
3. Confronta la velocità al perielio del satellite (v_p = h/r_p) con la velocità di fuga v_esc che hai calcolato per ogni riga. v_p è sopra o sotto v_esc, e cosa ti dice sulla permanenza dell'orbita legata?

5 · Estendi

1. La cometa di Halley sfreccia accanto al Sole in pochi mesi ma impiega decenni a tornare dal sistema solare esterno. Con la legge delle aree uguali, spiega perché una cometa passa così poca della sua orbita vicino al Sole e così tanta lontano.
2. Il momento angolare specifico h = r·v non contiene termini di massa. Se raddoppiassi la massa del satellite lanciandolo identicamente, l'h misurato cambierebbe? Cambierebbe il suo momento angolare totale L = m·r·v? Spiega la differenza.

La fisica dietro questo esperimento

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