熱機関とカルノー効率

熱機関とカルノーの限界

熱機関は高温の熱源から熱を受け取り、その一部を有用な仕事に変え、残りを低温の場所に廃熱として捨てる。どれほど優れていても、すべての熱を仕事に変えられる機関はなく、必ず何割かは捨てられる。機関が到達しうる最高効率は、2つの熱源がどれだけ高温でどれだけ低温かだけに依存する。

公式

η = 1 − T_c / T_h

η — 効率 (—): 熱エネルギーのうち機関が有用な仕事に変える割合
T_c — 低温熱源の温度 (K): 廃熱が捨てられる低温側の温度
T_h — 高温熱源の温度 (K): 機関に熱を供給する高温側の温度

例題

発電所の高温熱源（蒸気）が 400 K、低温熱源（川の水）が 300 K。この間で働く機関の最高効率は？

T_h = 400 K
T_c = 300 K

η = 1 − T_c / T_h
η = 1 − 300 K / 400 K

η = 0.25 = 25%

自分でチェック

熱機関が 800 K の高温熱源と 200 K の低温熱源の間で動く。最高効率は？

25%
正解: 75%
50%

正解！ η = 1 − 200 K / 800 K = 1 − 0.25 = 75％。

熱機関の最高効率を上げるには、どの変更が有効ですか？

低温熱源の温度を上げる
高温熱源の温度を下げる
正解: 低温熱源の温度を下げる

そのとおり！低温熱源が冷えると T_c / T_h が小さくなり、1 からそれを引いた効率が大きくなります。

どこで見られるか

本物の発電所は、この限界を前提に造られている：ケルビン単位で3桁もの高温になるボイラーからの蒸気がタービンを回し、余った熱は川や湖、あるいはあの象徴的な冷却塔へ捨てられなければならない——低温熱源は、炉と同じく発電所に欠かせない構成要素なのだ。400 K の蒸気と 300 K の川の水の間では、これまでに造られたどんな機関も 25% を超えることはできない。

よくある誤解

根強い神話は、優秀な技術者が知恵を絞れば熱を完全に仕事に変えられるという思い込みだ——カルノーの限界は2つの熱源の温度だけに依存し、腕前の巧拙には依存しない。式変形の落とし穴は、比の段階で計算を止めてしまうことだ：η = 1 − T_c / T_h なのだから、高温側 800 K・低温側 200 K なら 1 − 0.25 = 75% であって、25% ではない。そして熱力学ではいつもそうであるように、温度はケルビンである。

つながり

ここは力学と熱力学が出会う場所だ：機関の帳簿はエネルギー保存そのものである——入った熱＝出した仕事＋捨てた熱——だからこそ、このレッスンの前提となっているのはエネルギー保存自体なのだ。100% に到達できないという事実は、熱力学第2法則が早い段階から顔を出しているしるしである：廃熱とはエントロピーが課す税であり、その内容は次のレッスンで精密になる。