Tweede wet van Kepler: gelijke oppervlakten & impulsmoment

1 · Voorspel

Een satelliet in een elliptische baan wordt zijwaarts gelanceerd op het perihelium (dichtste nadering). Terwijl hij naar het afelium en terug beweegt, beschrijft de lijn tussen hem en de centrale massa dan sneller oppervlakte bij het perihelium, sneller bij het afelium, of overal even snel?

De straallijn beschrijft oppervlakte het snelst bij het perihelium, waar de satelliet het snelst beweegt.
De straallijn beschrijft in gelijke tijden gelijke oppervlakten — overal op de baan hetzelfde tempo.
De straallijn beschrijft oppervlakte het snelst bij het afelium, waar de satelliet de meeste ruimte heeft om te bewegen.

2 · Opstelling

Open de gelijke-oppervlakten-simulatie en druk op Herstel. De centrale massa staat in het midden van het canvas met zwaartekrachtsparameter GM = 40 m³/s², en de gearceerde sectorwiggen tekenen de oppervlakte die de straallijn van de satelliet beschrijft.
Zet de sonde voor specifiek impulsmoment (h) en de excentriciteitssonde (e) op de satelliet aan zodat beide invarianten live worden getoond.
Stel voor elke meting hieronder de periheliumstraal r_p en afeliumstraal r_a in, lanceer de satelliet vanaf het perihelium met een puur zijwaartse (tangentiele) snelheid, druk op Start en laat hem minstens één volledige omwenteling voltooien voordat je de gestabiliseerde h-aflezing noteert.

3 · Verzamel gegevens

Periheliumstraal r_p (m)	Apheliumstraal r_a (m)	Ontsnappingssnelheid bij perihelium v_esc (m/s)	Specifiek impulsmoment h (m²/s)
2.50	5.00
2.00	6.00
3.00	4.00

Zet voor je drie banen het gemeten specifieke impulsmoment h (y-as) uit tegen de periheliumstraal r_p (x-as). Schets daarna, kijkend naar één enkele baan, hoe de snelheid van de satelliet verandert van perihelium naar afelium — waar is hij het snelst en waar het langzaamst?

4 · Analyseer

Noteer voor één baan de h-aflezing bij het perihelium en nog eens bij het afelium. Binnen de afleesfout zouden ze moeten kloppen. Leg met h = r·v uit waarom de satelliet langzamer moet bewegen als r groot is (afelium) en sneller als r klein is (perihelium) om h constant te houden.
De per tijdseenheid beschreven oppervlakte is dA/dt = h/2. Omdat h constant is, worden in gelijke tijden gelijke oppervlakten beschreven. Gebruik je gemeten h van de eerste baan om dA/dt te berekenen en controleer dat h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) de waarde reproduceert die je in de simulatie afleest.
Vergelijk de periheliumsnelheid van de satelliet (v_p = h/r_p) met de ontsnappingssnelheid v_esc die je voor elke rij berekende. Ligt v_p boven of onder v_esc, en wat zegt dat over de vraag of de baan gebonden blijft?

5 · Verdiep

De komeet van Halley raast in maanden langs de zon, maar doet er decennia over om vanuit het buitenste zonnestelsel terug te kruipen. Leg met de wet van gelijke oppervlakten uit waarom een komeet zo weinig van zijn baan dicht bij de zon doorbrengt en het grootste deel zo ver weg.
Specifiek impulsmoment h = r·v bevat geen massaterm. Als je de massa van de satelliet verdubbelde maar identiek lanceerde, zou de gemeten h veranderen? Zou het volledige impulsmoment L = m·r·v veranderen? Leg het verschil uit.

De natuurkunde achter dit experiment

Ontsnappingssnelheid

De minimale snelheid op straal r waarmee de satelliet zou kunnen losbreken van de centrale massa. De echte periheliumsnelheid van de satelliet blijft onder deze waarde, dus de baan blijft gebonden — een gesloten ellips die in gelijke tijden gelijke oppervlakten beschrijft.

Baansnelheid in cirkel

De tangentiele snelheid die op straal r een perfecte cirkel geeft. Sneller lanceren bij het perihelium (zoals elke elliptische meting hier doet) stuurt de satelliet naar buiten tot een ver afelium voordat de zwaartekracht hem terugtrekt.

← Terug naar experiment

Mechanica

138 gratis printbare labwerkbladen voor natuurkunde