Prawa Keplera ruchu planet
Planety nie poruszają się po idealnych okręgach — zakreślają elipsy (rozciągnięte okręgi) ze słońcem w jednym ognisku, a nie w środku. Gdy planeta przelatuje bliżej słońca, przyspiesza, a gdy oddala się, zwalnia, wymiatając równe pola w równych czasach. Im dalej orbita planety, tym dłuższy jej rok, bo kwadrat okresu rośnie z sześcianem rozmiaru orbity.
Wzór
T² = k · a³
- T — okres (yr): czas, który planeta potrzebuje na pełne okrążenie
- a — półoś wielka (AU): średnia odległość planety od słońca
- k — stała proporcjonalności (yr²/AU³): równa 1 dla wszystkiego, co krąży wokół naszego słońca w tych jednostkach
Przykład rozwiązany
Planeta krąży wokół słońca po półosci wielkiej 4 jednostek astronomicznych. Ile lat zajmuje jej pełne okrążenie?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 lat
Sprawdź się
Inna planeta krąży po półosci wielkiej 9 jednostek astronomicznych. Jaki jest jej okres orbitalny?
- 9 lat
- 81 lat
- Poprawna odpowiedź: 27 lat
Poprawnie! T² = a³ = 9³ = 729, a pierwiastek kwadratowy z 729 to 27 lat.
Wzdłuż swojej eliptycznej orbity, gdzie planeta porusza się najszybciej?
- Poprawna odpowiedź: Najbliżej słońca
- Najdalej od słońca
- Prędkość nigdy się nie zmienia
Dobrze! Równe pola w równych czasach znaczą, że planeta musi przyspieszać najbliżej słońca.
Gdzie to widzisz
Każda planeta w Układzie Słonecznym, każdy księżyc krążący wokół planety i każdy satelita krążący wokół Ziemi podąża za elipsą zgodną z tymi trzema prawami — zostały odkryte dzięki obserwacjom Marsa dokonanym gołym okiem, dziesiątki lat zanim Newton wyjaśnił, dlaczego grawitacja produkuje dokładnie takie zachowanie. Komety na bardzo wydłużonych elipsach najdramatyczniej pokazują drugie prawo — pędzą wokół Słońca przy bliskim podejściu i czołgają się w pobliżu najdalszego punktu.
Częste błędy
Łatwo wyobrazić sobie orbity planet jako koła ze Słońcem w środku — rzeczywiste orbity to elipsy ze Słońcem w jednym z ognisk, a nie w centrum, dlatego właśnie odległość planety od Słońca zmienia się w ciągu roku. Uczniowie też czasami zakładają, że planeta porusza się ze stałą prędkością — drugie prawo Keplera mówi coś zupełnie innego: planeta przyspiesza w pobliżu Słońca i zwalnia, gdy jest daleko od niego, zamiatając równe pola w równych czasach, niezależnie od tego, gdzie się znajduje.
Jak się to łączy
Kepler odkrył te trzy zależności, dopasowując obserwowane pozycje Marsa do danych, dziesiątki lat przed tym, zanim Newton wykazał, że wszystkie wynikają z jednego prawa sił: grawitacji uniwersalnej w połączeniu z siłą dośrodkową. Razem grawitacja i prawa Keplera zamykają sekwencję mechaniki, która rozpoczęła się od swobodnego spadania — ten sam zestaw pomysłów (siła, przyspieszenie, energia, pęd), który opisał upuszczoną kulkę, opisuje też cały układ słoneczny.