O Modelo de Bohr & Espectros do Hidrogênio
Elétrons num átomo só podem ocupar níveis de energia fixos específicos, como degraus numa escada — nunca podem ficar entre eles. Quando um elétron salta de um degrau mais alto para um mais baixo, ele emite um único fóton que carrega exatamente aquela diferença de energia, e é por isso que o hidrogênio brilha em cores nítidas e distintas em vez de um arco-íris suave.
A fórmula
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — comprimento de onda (m): o comprimento de onda da luz emitido pelo salto do elétron
- R — constante de Rydberg (1/m): uma constante fixa que define a escala dos níveis de energia do hidrogênio
- n₁ — nível inferior (—): o nível de energia em que o elétron aterrissa, mais perto do núcleo
- n₂ — nível superior (—): o nível de energia de onde o elétron parte, mais longe do núcleo
Exemplo resolvido
Um elétron num átomo de hidrogênio cai do nível de energia n = 3 para o nível de energia n = 2 — a primeira linha da série de Balmer. Encontre 1/λ em termos da constante de Rydberg R.
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
Teste-se
Qual fóton carrega mais energia: um elétron caindo de n = 2 para n = 1 (Lyman), ou de n = 3 para n = 2 (Balmer)?
- Resposta correta: Lyman (n = 2 → 1)
- Balmer (n = 3 → 2)
- Elas carregam a mesma energia
Certo! Cair até n = 1 é um salto de energia maior do que cair até n = 2, então o fóton de Lyman tem mais energia — é por isso que ele cai no UV em vez de luz visível.
Para a transição n = 2 para n = 1 (a primeira linha de Lyman), qual é 1/λ em termos de R?
- R/4
- Resposta correta: 3R/4
- 3R/2
Sim! 1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4, então 1/λ = 3R/4 — esta é a linha Lyman-alfa.
Onde você vê isso
Um tubo de descarga de hidrogênio brilha num lilás-rosado específico em vez de num arco-íris suave, e os astrônomos leem a composição de uma estrela a partir das linhas escuras que seus átomos perfuram no seu espectro. Ambos vêm de elétrons caindo entre degraus fixos: cada queda emite um fóton com exatamente aquela energia de degrau a degrau.
Erros comuns
Primeiro, qual salto vence: uma queda maior libera um fóton de maior energia — cair até n = 1 (a série de Lyman) emite mais do que cair até n = 2 (Balmer), porque os degraus se aglomeram conforme você sobe. Depois, a aritmética dos degraus: o 1/λ do fóton subtrai QUADRADOS inversos, então de n = 2 para n = 1 tem-se 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4, dando 1/λ = 3R/4 — não a diferença simples dos n.
Como se conecta
A quantização de energia chega ao átomo: os fótons do efeito fotoelétrico agora explicam por que os átomos emitem linhas nítidas. Mas os degraus de Bohr foram postulados, não explicados — as ondas de matéria, a seguir, fornecem o porquê (as órbitas permitidas são ondas estacionárias), e é por isso que este modelo é ensinado como o brilhante degrau de passagem que foi.