Цепи переменного тока и резонанс

Резонанс в цепи переменного тока

В цепи переменного тока катушка и конденсатор борются друг с другом — одна противится изменениям тока, другой изменениям напряжения, и их эффекты толкают в противоположные стороны. На одной особой частоте их противоборство точно гасится, оставляя минимальное сопротивление току, и ток взлетает до максимума. Это резонанс — так радио настраивается на одну станцию, игнорируя остальные.

Формула

ω₀ = 1 / √(L · C)

ω₀ — резонансная циклическая частота (rad/s): частота, где катушка и конденсатор гасятся и ток пикирует
L — индуктивность (H): насколько сильно катушка противится изменениям тока
C — электроёмкость (F): сколько заряда конденсатор хранит на вольт

Решённый пример

Настроечный контур радио имеет катушку 1 henry и конденсатор 0.25 farads. Какова резонансная частота?

L = 1 H
C = 0.25 F

ω₀ = 1 / √(L · C)
ω₀ = 1 / √(1 H · 0.25 F)
ω₀ = 1 / √0.25 = 1 / 0.5

ω₀ = 2 rad/s

Проверьте себя

Та же катушка, L = 1 H, но теперь C = 4 F. Какая новая резонансная частота?

Правильный ответ: ω₀ = 0.5 rad/s
ω₀ = 2 rad/s
ω₀ = 8 rad/s

Верно! ω₀ = 1 / √(1 · 4) = 1 / 2 = 0.5 rad/s.

Если увеличить индуктивность L при том же C, резонансная частота ω₀…

увеличивается
Правильный ответ: уменьшается
остаётся ровно той же

Верно — ω₀ равно единица на корень из L на C, поэтому большее L делает ω₀ меньше.

Где вы это видите

Поворот ручки настройки радио — это настройка резонансной частоты контура: каждая станция вещает на своей частоте, и маленький LC-контур внутри отвечает большим током только на ту, на которую он настроен, игнорируя остальную часть шкалы. Одна ручка, одно уравнение — и чисто принимаемая станция из переполненного диапазона.

Частые ошибки

Людей подводит масштабирование: и L, и C стоят под корнем в знаменателе формулы ω₀ = 1 / √(L · C), поэтому большая катушка или конденсатор делает резонансную частоту ниже, а не выше — при L = 1 H переход от C = 1 F к C = 4 F снижает ω₀ с 1 rad/s до 0.5 rad/s. И в резонансе ток максимален, потому что противодействие минимально — ничто не усиливается из ниоткуда; энергия поступает от источника переменного тока.

Как это связано

Здесь сходится весь модуль электромагнетизма: заряды из закона Кулона, запас конденсатора, наведённое встречное напряжение на катушке по Фарадею — при ω₀ = 1 / √(L · C) их противодействия взаимно гасятся, и ток взлетает. Это электрический брат механического резонанса: качели, которые толкают в такт их собственной частоте, или биения из модуля волн, замирающие до нуля при идеальном совпадении.