Стоячие волны на струне
Дёрните струну гитары, подуйте в горлышко бутылки или встряхните скакалку с нужной скоростью — и вы увидите одно и то же явление: две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях по одной и той же среде, интерферируют, создавая узор, который кажется неподвижным, а не бегущим. Это происходит всякий раз, когда волна отражается от закреплённого или свободного конца и накладывается на собственное отражение — на большинстве частот результатом становится беспорядочное смешение, но на определённых резонансных частотах интерференция «застывает» в чёткий, неподвижный узор из точек, которые никогда не движутся (узлы), и точек, колеблющихся между максимальными отклонениями (пучности). Почти каждый музыкальный инструмент, от струнных до духовых и барабанных мембран, полагается именно на это поведение, чтобы создавать устойчивую высоту звука.
Узлы и пучности
Узлы — точки, которые остаются неподвижными; пучности колеблются с максимальной амплитудой. Число сегментов зависит от частоты и граничных условий.
Резонанс и гармоники
На резонансных частотах на струне укладывается целое число полуволн. Каждая гармоника добавляет ещё одну пучность между закреплёнными концами.
Волновое уравнение
Скорость волны задаётся средой, в которой она бежит, — натяжением струны или воздухом, — а не тем, как быстро вы трясёте источник. Раз скорость фиксирована, каждый отправленный вами цикл должен уместиться в ту же скорость: более быстрая тряска упаковывает циклы плотнее в более короткую длину волны.
Формула
v = f · λ
- v — скорость волны (m/s): как быстро волновой узор движется сквозь среду
- f — частота (Hz): сколько волновых циклов проходит точку каждую секунду
- λ — длина волны (m): длина одного полного цикла волны
Решённый пример
Волна бежит по струне, совершая 5 полных циклов в секунду. Каждый цикл растянут на 2 meters. Как быстро движется волна?
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
Проверьте себя
Та же струна по-прежнему несёт волны на 10 meters per second. Если трясти её на 10 hertz вместо 5, что станет с длиной волны?
- Удвоится до 4 m
- Останется 2 m
- Правильный ответ: Упадёт вдвое до 1 m
Верно! Скорость задана струной, поэтому λ = v / f = 10 м/с ÷ 10 Hz = 1 м — удвоение частоты уполовинивает длину волны.
Другая волна имеет частоту 4 hertz и длину волны 3 meters. Какова её скорость?
- Правильный ответ: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
Верно! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
Где вы это видите
Натяжение гитарной струны — это уравнение, ставшее слышимым: более туго натянутая струна несёт волны быстрее, поэтому каждое колебание, отправленное музыкантом, возвращается к нему более высоким тоном. Более быстрая тряска струны делает нечто другое — волна по-прежнему бежит со скоростью, которую позволяет струна, но циклы упаковываются плотнее, в более короткую длину волны. Скорость задаёт среда, а не музыкант.
Частые ошибки
Рефлекторная ошибка — считать, что более быстрая тряска источника должна заставить волну бежать быстрее: скорость фиксирована одной лишь средой, поэтому более быстрое колебание лишь укорачивает длину волны — переставьте v = f · λ в λ = v / f, и этот обратный обмен станет явным. Потрясите струну со скоростью волн 10 m/s на 10 герц вместо 5 — и длина волны упадёт с 2 метров до 1 метра, а скорость никак не изменится. Частота и длина волны — не независимые ручки настройки.
Как это связано
Это одно уравнение — хребет всего раздела о волнах: эффект Доплера — то, что происходит, когда собственное движение источника искажает эти длины волн при фиксированной скорости волны, а биения — это две почти одинаковые частоты, то входящие в согласие, то выходящие из него. Оно перекидывается и на другие модули — интерференцией и дифракцией в оптике управляет длина волны света через то же самое соотношение.