駐波：固定弦上的諧波
1·預測
兩端固定的弦以特定頻率產生共振，稱為諧波。二階與三階諧波的頻率與基波有何關係？
- 諧波頻率相對於基波不遵循簡單的模式。
- 每個諧波的頻率是前一個諧波的頻率的一半。
- 每個諧波的頻率都是基頻的整數倍。
2·設定
- 開啟 standing-string 預設並按下 Reset。張力 (120 N)、線密度 (0.01 kg/m) 和長度 (1.2 m) 是固定的。
- 啟用弦的基頻讀數。
- 設定每次試驗的諧波數 n 並記錄諧振頻率。
3·收集數據
| 諧波次數n | 基本 f₁ (Hz) | 諧振頻率fₙ (Hz) |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
針對三次試驗，繪製共振頻率fₙ（Y軸）相對諧波序號n（x軸）的關係圖。直線是否通過原點？
4·分析
- 使用 T = 120 N、μ = 0.01 kg/m、L = 1.2 m 計算 f₁ = √(T/μ)/(2L)，然後每行計算 fₙ = n·f₁。與表比較。
- 你的fₙ對n圖應為通過原點、斜率為f₁的直線。請解釋為什麼固定兩端會迫使只有f₁的整數倍才能共振。
5·擴展
- 吉他弦的基音決定了您聽到的音符，但弦也會同時以更高的諧波振動，從而賦予音符音色。在這個應用程式中，您還可以在哪裡看到組合的多個諧波？
- 如果將弦縮短到長度的一半（保持張力和線密度相同），則基頻會發生什麼變化？用 f₁ = v/(2L) 來解釋。
這個實驗背後的物理原理
固定端駐波基礎
兩端固定的弦線支持駐波，其最低（基波）頻率取決於波速和弦長度：f₁ = v/(2L)。
諧波級數
更高的共振模式出現在基頻的整數倍處：fₙ = n·f₁。每增加一個整數n，就意味著弦上多容納半個波長。