Keplers tredje lov: Omløbstid vs. radius

1 · Forudsig

En satellit kredser om en central masse i et stabilt cirkulært kredsløb. Når du flytter den til en større kredsløbsradius, hvordan ændrer tiden for én hel omdrejning sig?

2 · Opsætning

  1. Åbn forudstillingen grav-kepler-law. En satellit kredser om den centrale masse; kredsløbsstopuret og omløbstidsmåleren sidder allerede på.
  2. Indstil satellittens kredsløbsradius r, og send den derefter sidelæns af sted med den cirkulære kredsløbshastighed, der vises på formulkortet v = √(GM/r), så kredsløbet forbliver cirkulært.
  3. Lad satellitten gennemføre mindst én hel omgang, og aflæs omløbstiden T på stopuret, når kredsløbet er stabilt.

3 · Saml data

Kredsløbsradius r (m)Omløbshastighed v (m/s)Målt omløbstid T (s)
2.50
3.50
4.50

Afbild T² (lodret akse) mod r³ (vandret akse) for dine tre kredsløb. Tegn den bedste rette linje gennem nulpunktet, og find dens hældning.

4 · Analysér

  1. Beregn T²/r³ for hver række. Er de tre værdier omtrent ens? Sammenlign deres gennemsnit med 4π²/GM ved at bruge GM = 40 (så 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
  2. Din T²-mod-r³-linje bør gå gennem nulpunktet. Forklar, hvorfor netop den rette linje gennem nul er præcis, hvad T² = (4π²/GM)·r³ forudsiger, og hvad hældningen repræsenterer.

5 · Udvid

  1. Rigtige planeter følger den samme lov: Merkur (lille kredsløb) løber rundt om Solen på 88 dage, mens Neptun (stort kredsløb) bruger 165 år. Brug T²/r³ = konstant til at forklare denne enorme forskel.
  2. Keplers konstant er her 4π²/GM, så den afhænger af den centrale masse, ikke af satellitten. Forudsig, hvad der sker med alle kredsløbers omløbstid, hvis det centrale legemes GM blev fordoblet.

Fysikken bag dette eksperiment

Keplers tredje lov

For ethvert kredsløb omkring en given central masse er omløbstiden i anden potens proportional med middelradius i tredje potens: T²/r³ = 4π²/GM. Forholdet er det samme for hvert kredsløb, så tidtagning af ét kredsløb ved kendt radius afslører GM.

Banehastighed i cirkel

Et legeme i et cirkulært kredsløb med radius r skal bevæge sig med v = √(GM/r): den fart, der får tyngdekraften til at levere præcis den nødvendige centripetalkraft. Affyring med denne fart holder kredsløbet cirkulært frem for elliptisk.

← Tilbage til eksperimentet

Mekanik

138 gratis printbare fysik-labark