Das Bohrsche Modell & Wasserstoffspektren
Elektronen in einem Atom können nur bestimmte feste Energieniveaus besetzen, wie Sprossen einer Leiter — sie können niemals dazwischen sitzen. Wenn ein Elektron von einer höheren Sprosse auf eine niedrigere springt, gibt es ein einzelnes Photon ab, das genau diese Energiedifferenz trägt, weshalb Wasserstoff in scharfen, klaren Farben leuchtet statt in einem sanften Regenbogen.
Die Formel
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — Wellenlänge (m): die Wellenlänge des Lichts, das beim Sprung des Elektrons abgegeben wird
- R — Rydberg-Konstante (1/m): eine feste Konstante, die den Maßstab der Energieniveaus des Wasserstoffs festlegt
- n₁ — unteres Niveau (—): das Energieniveau, auf dem das Elektron landet, näher am Kern
- n₂ — oberes Niveau (—): das Energieniveau, von dem das Elektron startet, weiter vom Kern entfernt
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Elektron in einem Wasserstoffatom fällt vom Energieniveau n = 3 auf das Energieniveau n = 2 — die erste Linie der Balmer-Serie. Finde 1/λ in Termen der Rydberg-Konstante R.
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
Teste dich selbst
Welches Photon trägt mehr Energie: ein Elektron, das von n = 2 auf n = 1 fällt (Lyman), oder von n = 3 auf n = 2 (Balmer)?
- Richtige Antwort: Lyman (n = 2 → 1)
- Balmer (n = 3 → 2)
- Sie tragen dieselbe Energie
Richtig! Ein Fall ganz bis zu n = 1 ist ein größerer Energiesprung als ein Fall zu n = 2, also hat das Lyman-Photon mehr Energie — deshalb landet es im UV statt im sichtbaren Licht.
Für den Übergang n = 2 auf n = 1 (die erste Lyman-Linie): Wie groß ist 1/λ in Termen von R?
- R/4
- Richtige Antwort: 3R/4
- 3R/2
Ja! 1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4, also ist 1/λ = 3R/4 — das ist die Lyman-alpha-Linie.
Wo du das siehst
Eine Wasserstoff-Entladungsröhre leuchtet in einem bestimmten Lavendelrosa statt in einem sanften Regenbogen, und Astronomen lesen die Zusammensetzung eines Sterns aus den dunklen Linien, die seine Atome in sein Spektrum stanzen. Beides kommt von Elektronen, die zwischen festen Sprossen hinunterspringen: Jeder Sprung sendet genau ein Photon aus, das genau die Energie dieses Sprossen-zu-Sprossen-Falls trägt.
Häufige Fehler
Erstens, welcher Sprung gewinnt: Ein größerer Fall setzt ein Photon höherer Energie frei — ein Sturz auf n = 1 (die Lyman-Serie) strahlt mehr aus als ein Sturz auf n = 2 (Balmer), weil die Sprossen beim Aufsteigen enger zusammenrücken. Dann die Arithmetik der Sprossen: Das 1/λ des Photons subtrahiert inverse QUADRATE, also ist es für n = 2 nach n = 1 gleich 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4, was 1/λ = 3R/4 ergibt — nicht die schlichte Differenz der n-Werte.
Wie es sich verbindet
Die Energiequantelung wird atomar: Die Photonen des photoelektrischen Effekts erklären nun, warum Atome überhaupt scharfe Linien aussenden. Aber Bohrs Sprossen waren postuliert, nicht erklärt — die Materiewellen liefern als Nächstes das Warum (erlaubte Bahnen sind stehende Wellen), weshalb dieses Modell als das geniale Sprungbrett gelehrt wird, das es war.