Spezielle Relativitätstheorie: Zeitdilatation
Zeitdilatation
Wenn sich etwas nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegt, vergeht für es langsamer Zeit im Vergleich zu jemandem, der von außen zusieht. Das ist kein Trick der Uhr — die Zeit selbst dehnt sich wirklich aus, und bewegte Objekte schrumpfen entlang ihrer Bewegungsrichtung um genau denselben Faktor.
Die Formel
Δt = γ · Δt₀ , γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- Δt — dilatierte Zeit (s): das Zeitintervall, das ein Beobachter misst, der die Uhr vorbeiziehen sieht
- Δt₀ — Eigenzeit (s): das Zeitintervall, das jemand misst, der sich mit der Uhr bewegt
- v — Relativgeschwindigkeit (m/s): wie schnell sich die Uhr relativ zum Beobachter bewegt
- c — Lichtgeschwindigkeit (m/s): die universelle Tempogrenze, etwa 3 × 10⁸ Meter pro Sekunde
- γ — Lorentz-Faktor (none): wie stark sich die Zeit dehnt und die Länge bei dieser Geschwindigkeit schrumpft
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Raumschiff schießt mit der 0.8-fachen Lichtgeschwindigkeit an der Erde vorbei. Der Herzschlag einer Astronautin dauert an ihrer eigenen Uhr 3 Sekunden. Wie lange dauert dieser Herzschlag nach Meinung eines Beobachters auf der Erde?
- v = 0.8 c
- Δt₀ = 3 s
- γ = 1 / √(1 − 0.8²) = 5/3
- Δt = γ · Δt₀ = (5/3) · 3 s
Δt = 5 s
Teste dich selbst
Der Herzschlag der Astronautin dauert jetzt an ihrer eigenen Uhr 6 Sekunden, immer noch bei 0.8c. Wie lange misst der Beobachter auf der Erde, dass er dauert?
- 8 s
- Richtige Antwort: 10 s
- 3.6 s
Richtig! Gamma ist immer noch fünf Drittel, also 6 s mal fünf Drittel gleich 10 s.
Nun reist das Schiff mit der 0.6-fachen Lichtgeschwindigkeit, und die Eigenzeit beträgt 4 Sekunden. Was misst der Beobachter auf der Erde?
- 3.2 s
- 4.6 s
- Richtige Antwort: 5 s
Genau! Bei 0.6c ist Gamma gleich 1.25, also 4 s mal 1.25 gleich 5 s.
Wo du das siehst
GPS-Satelliten tragen Uhren, die messbar von den Uhren am Boden abweichen, und das System korrigiert das jeden Tag — die schwächere Gravitation in der Höhe lässt die Satellitenuhren schneller gehen und übertrifft damit leicht die Verlangsamung durch ihre Bahngeschwindigkeit. Myonen der kosmischen Strahlung, die in der oberen Atmosphäre geboren werden, sollten längst zerfallen sein, bevor sie den Boden erreichen, und doch kommen sie in Scharen an: Ihre innere Uhr geht nahe der Lichtgeschwindigkeit langsam.
Häufige Fehler
Der wiederkehrende Patzer ist, welche Zeit wächst: Die dilatierte Zeit, die der außenstehende Beobachter misst, ist IMMER länger als die Eigenzeit auf der eigenen Uhr des Bewegten — man multipliziert mit Gamma, niemals dividiert man. Bei 0.8c ist Gamma 5/3, also dauert ein Herzschlag von 6 Sekunden auf dem Schiff auf der Erde 10 s; bei 0.6c ist Gamma 1.25, und aus 4 s Eigenzeit werden 5 s. Derselbe Faktor staucht die Längen entlang der Bewegung zusammen.
Wie es sich verbindet
Damit öffnet sich die Relativitätstheorie, die zweite Säule der modernen Physik neben den Quantenlektionen: keine Photonen, keine Sprossen, nur die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, die Raum und Zeit zwingt, sich um sie herum zu biegen. Ihr berühmtestes Nebenprodukt, E = Δm · c², trifft am Ende des Moduls bei der Kernbindungsenergie ein.