Radioaktiver Zerfall & Halbwertszeit
Instabile Atomkerne zerfallen zufällig, einer nach dem anderen, und es gibt keine Möglichkeit, genau vorherzusagen, wann ein einzelner Kern zerfallen wird. Aber über eine große Probe hinweg ist das Muster vollständig vorhersehbar: Nach einer Halbwertszeit bleiben genau die Hälfte der ursprünglichen Kerne übrig, und nach jeder weiteren Halbwertszeit zerfällt die Hälfte des Verbleibenden.
Die Formel
N = N₀ · (½)^(t/t½)
- N — verbleibende Menge (g): die Menge der Substanz, die zur Zeit t noch übrig ist
- N₀ — Anfangsmenge (g): die Menge, die zu Beginn vorhanden ist, wenn t gleich null ist
- t — verstrichene Zeit (s): wie viel Zeit seit dem Beginn vergangen ist
- t½ — Halbwertszeit (s): die Zeit, die es dauert, bis die Hälfte der Probe zerfallen ist
Durchgerechnetes Beispiel
Eine 80-Gramm-Probe eines radioaktiven Isotops hat eine Halbwertszeit von 5 Tagen. Wie viel bleibt nach 10 Tagen übrig?
- N₀ = 80 g
- t½ = 5 Tage
- N = N₀ · (½)^(t/t½)
- N = 80 g · (½)^(10/5) = 80 g · (½)²
N = 20 g
Teste dich selbst
Die gleiche 80-Gramm-Probe zerfällt weiter. Wie viel bleibt nach 15 Tagen übrig?
- 40 g
- Richtige Antwort: 10 g
- 26.7 g
Richtig! Drei Halbwertszeiten: 80 g → 40 g → 20 g → 10 g.
Nach 3 Halbwertszeiten: Welcher Bruchteil der ursprünglichen Probe ist noch übrig?
- Richtige Antwort: 1/8
- 1/3
- 1/6
Korrekt! Ein halb mal ein halb mal ein halb gleich ein achtel.
Wo du das siehst
Archäologen datieren altes Holz und alte Knochen über Kohlenstoff-14, dessen Halbwertszeit von 5 730 Jahren die Konzentration nach dem Tod stetig absenkt — wer misst, was übrig ist, liest den Kalender ab. Krankenhäuser nutzen dasselbe Zerfallsgesetz mit kurzlebigen Tracern, die durch den Körper leuchten und innerhalb eines Tages verblassen.
Häufige Fehler
Der Rechenfehler ist, jede Halbwertszeit als Abzug eines festen Betrags zu behandeln — sie multipliziert mit einem halben, also bleiben nach drei Halbwertszeiten ein Achtel übrig (½ × ½ × ½), niemals null und niemals drei halbe weg: Eine Probe von 80 g geht 80 → 40 → 20 → 10 g. Der konzeptionelle Fehler ist zu erwarten, dass einzelne Kerne dem Gesetz gehorchen — jeder beliebige Kern zerfällt zu einem zufälligen, prinzipiell unvorhersehbaren Zeitpunkt; nur große Proben werden vorhersehbar.
Wie es sich verbindet
Zerfall ist Wahrscheinlichkeitsrechnung, betrieben mit Kernen — dieselbe Gesetz-der-großen-Zahlen-Logik wie bei der Entropie der Thermodynamik — und er übergibt der nächsten Lektion ihre Frage: WARUM sind manche Kerne instabil und andere nicht? Die Antwort, die Bindungsenergie, bringt außerdem das c² der Relativitätstheorie zurück, um die Differenz in Energie umzurechnen.