Keplersche Gesetze der Planetenbewegung
Planeten bewegen sich nicht in perfekten Kreisen — sie zeichnen Ellipsen (gestreckte Kreise), wobei die Sonne in einem Brennpunkt sitzt, nicht in der Mitte. Wenn ein Planet sich der Sonne nähert, beschleunigt er, und wenn er sich weiter entfernt, verlangsamt er sich und streicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen aus. Je weiter die Umlaufbahn eines Planeten ist, desto länger dauert sein Jahr, weil die Periode zum Quadrat mit der Kubierung der Größe der Umlaufbahn wächst.
Die Formel
T² = k · a³
- T — Umlaufzeit (yr): die Zeit, die der Planet braucht, um eine vollständige Umlaufbahn zu absolvieren
- a — große Halbachse (AU): der durchschnittliche Abstand des Planeten von der Sonne
- k — Proportionalitätskonstante (yr²/AU³): gleich 1 für alles, das unsere Sonne in diesen Einheiten umkreist
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Planet umkreist die Sonne in einer großen Halbachse von 4 astronomischen Einheiten. Wie viele Jahre braucht er, um eine Umlaufbahn zu absolvieren?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 Jahre
Teste dich selbst
Ein anderer Planet umkreist in einer großen Halbachse von 9 astronomischen Einheiten. Wie lang ist seine Umlaufzeit?
- 9 Jahre
- 81 Jahre
- Richtige Antwort: 27 Jahre
Korrekt! T² = a³ = 9³ = 729, und die Quadratwurzel von 729 ist 27 Jahre.
Entlang seiner elliptischen Umlaufbahn bewegt sich ein Planet am schnellsten wo?
- Richtige Antwort: Am nächsten zur Sonne
- Am weitesten von der Sonne entfernt
- Die Geschwindigkeit ändert sich nie
Richtig! Gleiche Flächen in gleichen Zeiten bedeutet, dass der Planet beschleunigen muss, wenn er der Sonne am nächsten ist.
Wo du das siehst
Jeder Planet im Sonnensystem, jeder Mond um einen Planeten und jeder Satellit um die Erde folgt einer Ellipse, die diese drei Gesetze befolgt — sie wurden aus bloßem Auge beobachteten Positionen des Mars entdeckt, Jahrzehnte bevor Newton erklärte, warum die Schwerkraft genau dieses Verhalten erzeugt. Kometen auf sehr gestreckten Ellipsen zeigen das zweite Gesetz am dramatischsten, sausen in der Nähe der Sonne herum und kriechen in ihrer weitesten Entfernung dahin.
Häufige Fehler
Es ist leicht, sich Planetenbahnen als Kreise mit der Sonne in der Mitte vorzustellen — echte Bahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt, nicht in der Mitte, weshalb sich die Entfernung eines Planeten zur Sonne über sein Jahr tatsächlich ändert. Schüler nehmen auch manchmal an, dass sich ein Planet mit konstanter Geschwindigkeit bewegt — das zweite Gesetz besagt das Gegenteil: Ein Planet wird in der Nähe der Sonne schneller und verlangsamt sich weit entfernt von ihr, wobei er in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.
Wie es sich verbindet
Kepler entdeckte diese drei Muster, indem er die beobachteten Positionen des Mars an die Daten anpasste, Jahrzehnte bevor Newton zeigte, dass sie alle aus einem Kraftgesetz folgen: universelle Gravitation kombiniert mit Zentripetalbewegung. Zusammen beschließen Gravitation und Keplersche Gesetze die Mechaniksequenz, die mit dem freien Fall begann — derselbe Gedankenkreis (Kraft, Beschleunigung, Energie, Impuls), der einen fallenden Ball beschrieb, beschreibt auch ein ganzes Sonnensystem.