Gravitationsflucht – Befreiung von einer zentralen Masse

1 · Vorhersagen

Ein Satellit wird seitlich an einer zentralen Masse vorbei mit knapp über der Fluchtgeschwindigkeit für seine Entfernung geschossen. Fällt er in eine Umlaufbahn zurück, kreist er für immer, oder verlässt er die Zentralmasse und kehrt nie zurück?

2 · Aufbauen

  1. Öffnen Sie die Preset „Gravitationsflucht“ und drücken Sie „Zurücksetzen“. Beachten Sie den Zentralmassenparameter GM und den Startabstand r des Satelliten vom Zentrum.
  2. Bestätigen Sie, dass die Geschwindigkeitssonde am Satelliten angebracht ist – sie meldet die Geschwindigkeit des Satelliten relativ zur Zentralmasse in m/s.
  3. Stellen Sie für jeden unten aufgeführten Versuch GM und die Startentfernung r auf die aufgeführten Werte ein, drücken Sie „Play“ und zeichnen Sie die Geschwindigkeit des Satelliten zum Zeitpunkt des Starts auf.

3 · Daten sammeln

Zentralmassenparameter GM (m³/s²)Startentfernung r (m)Fluchtgeschwindigkeit v_esc (m/s)Gemessene Startgeschwindigkeit v (m/s)
40.002.80
40.004.00
60.003.00

Tragen Sie die gemessene Startgeschwindigkeit v (y-Achse) gegen die von Ihnen berechnete Fluchtgeschwindigkeit v_esc (x-Achse) für Ihre drei Versuche auf. Beschreiben Sie die Gerade und schätzen Sie ihre Steigung ab.

4 · Auswerten

  1. Teilen Sie für jede Zeile die gemessene Startgeschwindigkeit v durch die berechnete Fluchtgeschwindigkeit v_esc. Was fällt Ihnen an diesem Verhältnis bei allen drei Versuchen auf, und was sagt Ihnen ein Verhältnis größer als 1 darüber, ob der Satellit entkommt?
  2. Die spezifische Bahnenergie beträgt ε = v²/2 − GM/r. Berechnen Sie ε für Ihren ersten Versuch anhand der gemessenen Startgeschwindigkeit. Zeigen Sie, dass es positiv ist, und erklären Sie, warum ein positives ε bedeutet, dass der Satellit ungebunden ist.

5 · Vertiefen

  1. Sagen Sie voraus, welchen Weg der Satellit nehmen würde, wenn er mit genau der Fluchtgeschwindigkeit (Verhältnis = 1.00) statt mit 1.08× gestartet würde. Würde er jemals wirklich zum Stehen kommen, und in welcher Entfernung? Erklären Sie es mit ε.
  2. Ein echtes Raumschiff, das von der Oberfläche eines Planeten gestartet wird, muss ebenfalls durch den Luftwiderstand heraussteigen, bevor es den Weltraum erreicht. Wäre dadurch die tatsächlich zum Entkommen erforderliche Geschwindigkeit größer oder kleiner als das hier berechnete ideale v_esc = √(2GM/r)? Warum?

Die Physik hinter diesem Experiment

Fluchtgeschwindigkeit

Die Mindestgeschwindigkeit, bei der die kinetische Energie eines Körpers der Tiefe des Gravitationsbrunnens im Abstand r entspricht, sodass seine Gesamtenergie genau Null ist und er bis ins Unendliche gleiten kann. Bei höherer Geschwindigkeit entkommt er mit übriggebliebener Energie.

Kreisbahngeschwindigkeit

Die erforderliche Geschwindigkeit, um eine Kreisbahn im gleichen Abstand r zu halten. Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt genau das √2-Fache – ein nützlicher Maßstab, um zu beurteilen, wie weit jeder Start wirklich über dem Verbleib im Orbit liegt.

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