معادلهٔ عدسی نازک

عدسی پرتوهای نور را چنان می‌شکند که دوباره در نقطه‌ای به هم برسند و تصویری بسازند. تصویر کجا ساخته می‌شود به فاصلهٔ جسم از عدسی و شدت شکست نور به‌دست عدسی بستگی دارد — خاصیتی که فاصلهٔ کانونی‌اش می‌نامیم. معادلهٔ عدسی نازک این سه فاصله را به هم می‌بندد؛ با دانستن هر دو، سومی را می‌یابید.

فرمول

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

f — طول کانونی (m): عدسی نور را چقدر محکم می‌شکند — جایی که پرتوهای موازی همگرا می‌شوند
dₒ — فاصلهٔ جسم (m): جسم چقدر از عدسی دور است
dᵢ — فاصلهٔ تصویر (m): تصویر چقدر از عدسی ساخته می‌شود

مثال حل‌شده

عدسی همگرایی فاصلهٔ کانونی 10 سانتی‌متری دارد. جسمی 30 سانتی‌متر جلویش گذاشته شده. تصویر چقدر از عدسی ساخته می‌شود؟

f = 10 cm
dₒ = 30 cm

1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

خودتان را بیازمایید

با همان عدسی 10 سانتی‌متر کانونی، اگر جسم به 20 سانتی‌متری منتقل شود، تصویر چقدر از عدسی ساخته می‌شود؟

10 cm
پاسخ درست: 20 cm
30 cm

درست است! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm، پس dᵢ = 20 cm.

برای مثال اصلی (dₒ = 30 cm، dᵢ = 15 cm)، بزرگ‌نمایی چیست، و دربارهٔ تصویر چه می‌گوید؟

پاسخ درست: m = −0.5 — وارونه و نیم‌اندازه
m = 0.5 — راست و نیم‌اندازه
m = −2 — وارونه و دوبرابراندازه

درست است — m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0.5، پس تصویر وارونه و نیم ارتفاع جسم است.

کجا آن را می‌بینید

پروژکتوری که تصویری واضح روی دیوار می‌اندازد، خودِ همین معادله است روی دیوار: اگر زیاد نزدیک یا زیاد دور باشد تصویر تار می‌شود، چون برای یک عدسی و فاصلهٔ پردهٔ معین، فقط یک فاصلهٔ جسم تصویر را کانونی می‌کند. چشم خودتان هم بی‌وقفه همین معادله را اجرا می‌کند — عدسی‌اش شکل خود را عوض می‌کند تا تصویر هر چیزی که به آن نگاه می‌کنید روی شبکیه کانونی بماند.

اشتباهات رایج

اولین لغزش این است که فاصلهٔ تصویر را خاصیتی فقط از خود عدسی بدانیم — فاصلهٔ تصویر همراه با جسم جابه‌جا می‌شود: با فاصلهٔ کانونی 10 cm، جسمی در 30 cm تصویری در 15 cm می‌سازد، اما طبق 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ اگر جسم را به 20 cm بکشید، تصویر به 20 cm می‌رود. دومین لغزش، سهل‌انگاری در خواندن بزرگ‌نمایی است: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 دو واقعیت را در یک عدد جای داده — علامت منفی می‌گوید تصویر وارونه است و 0.5 می‌گوید نیم‌اندازه است.

چگونه ارتباط دارد

عدسی یعنی شکست مهارشده: دو سطح خمیده که هر یک پرتوها را طبق قانون اسنل می‌شکنند و چنین شکل گرفته‌اند که همهٔ این خم‌ها به هم همگرا شوند — و جایی که همگرا می‌شوند همان چیزی است که این معادله پیش‌بینی می‌کند. معادلهٔ آینه در درس بعد همان جبرِ یکسان از آب درمی‌آید، فقط با بازتاب به‌جای شکست — یکی از غافلگیری‌های خوشایند این بخش.