Ellipszis pályák: energia, szökési sebesség és excentricitás

1 · Jóslás

Egy műholdat oldalirányban indítanak el egy központi tömeg körüli r sugárnál, a körpálya-sebességnél kisebb sebességgel. Zárt ellipszist ír le, tökéletes kört tart, vagy elszáll és soha nem tér vissza?

2 · Előkészítés

  1. Nyisd meg az ellipszis-pálya szimulációt, és nyomd meg a Visszaállítást. A központi tömeg a színpad közepén ül GM = 40 m³/s² gravitációs paraméterrel.
  2. Engedélyezd az energia- és excentricitás-mérőket a műholdon, hogy mindkét invariáns élőben látszódjon.
  3. Minden alábbi mérésnél helyezd a műholdat r sugárra az x-tengelyen, adj neki tisztán oldalirányú (tangenciális) v indítási sebességet, nyomd meg az Indítást, és hagyd, hogy legalább egy teljes pályát tegyen meg, mielőtt rögzíted a beállt mérőleolvasásokat.

3 · Adatgyűjtés

Gravitációs paraméter GM (m³/s²)Kilövési sugár r (m)Érintőirányú kilövési sebesség v (m/s)Szökési sebesség v_esc (m/s)Specifikus keringési energia ε (J/kg)Excentricitás e
40.002.004.00
40.003.203.00
40.004.002.40
40.005.002.00

Ábrázold a mért e excentricitást (y-tengely) a fajlagos pályaenergia ε-vel (x-tengely) szemben. Ahogy ε a nulla felé kúszik, mi történik a pálya alakjával?

4 · Elemzés

  1. Számítsd ki minden sorhoz a fajlagos pályaenergiát ε = v²/2 − GM/r, és erősítsd meg az előjelet. Mit mond egy negatív ε arról, hogy a műhold kötött-e a központi tömeghez?
  2. Hasonlítsd össze minden indítási v sebességet a számított v_esc szökési sebességgel. Az indítás tangenciális, tehát h = r·v; mutasd meg, hogy az e = √(1 + 2εh²/GM²) reprodukálja a szimulációról leolvasott excentricitást, és magyarázd meg, miért ad egy szökési sebességhez közeli indítás megnyúltabb ellipszist.

5 · Kiterjesztés

  1. Melyik tangenciális sebesség tenné tökéletes körré az ellipszist minden indítási sugárnál? (Tipp: v_circ = √(GM/r).) A táblázat indítási sebessége ennél az értéknél nagyobb vagy kisebb, és hogyan magyarázza ez a pálya alakját?
  2. A hosszú periódusú üstökösök excentricitása közel 1. Mit jelent ez a legnagyobb megközelítési sebességükre a helyi szökési sebességhez képest — és miért nem szöknek meg mégis teljesen a Naptól?

A fizika a kísérlet mögött

Szökési sebesség

A legkisebb tangenciális sebesség az r sugárnál, amely lehetővé tenné a műholdnak a központi tömegből való megszökést. Ennél kisebb sebességgel indítva az ε negatív marad, és a pálya kötött — ellipszis, nem kötetlen trajektória.

Körpálya-sebesség

Az a tangenciális sebesség, amely tökéletes kört ad az r sugárnál. A lassabb indítás (mint minden ittani mérés) elengedés után befelé ejti a műholdat, olyan ellipszist rajzolva, amelynek távoli apocentruma az indítási pont.

← Vissza a kísérlethez

Mechanika

138 ingyenes nyomtatható fizikai munkalap