Kepler második törvénye: egyenlő területek és perdület

1 · Jóslás

Egy ellipszis pályán mozgó műholdat a perihéliumban (legközelebbi megközelítésben) indítanak el oldalra. Ahogy kicsúszik az aféliumba és vissza, a központi tömeghez húzott vonal gyorsabban súrol területet a perihélium közelében, gyorsabban az afélium közelében, vagy mindenhol ugyanazzal az ütemmel?

• A sugárvonal a perihélium közelében súrolja a területet a leggyorsabban, ahol a műhold a leggyorsabban mozog.
• A sugárvonal egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol — ugyanaz az ütem a pálya minden pontján.
• A sugárvonal az afélium közelében súrolja a területet a leggyorsabban, ahol a műholdnak a legtöbb helye van mozogni.

2 · Előkészítés

1. Nyisd meg az egyenlő területek szimulációt, és nyomd meg a Visszaállítást. A központi tömeg a színpad közepén ül GM = 40 m³/s² gravitációs paraméterrel, és az árnyalt körszeletek azt a területet jelzik, amelyet a műhold sugárvonala súrol.
2. Engedélyezd a fajlagos perdület (h) és az excentricitás (e) mérőket a műholdon, hogy mindkét invariáns élőben látszódjon.
3. Minden alábbi mérésnél állítsd be az r_p perihélium sugarát és az r_a afélium sugarát, indítsd a műholdat a perihéliumból tisztán oldalirányú (tangenciális) sebességgel, nyomd meg az Indítást, és hagyd, hogy legalább egy teljes pályát tegyen meg, mielőtt rögzíted a beállt h leolvasást.

3 · Adatgyűjtés

Ábrázold a mért fajlagos perdületet h (y-tengely) az r_p perihélium sugárral (x-tengely) szemben a három pályához. Ezután egyetlen pálya futtatása közben vázold fel, hogyan változik a műhold sebessége a perihéliumtól az aféliumig — hol a leggyorsabb, és hol a leglassabb?

4 · Elemzés

1. Egy pályán jegyezd fel a h leolvasást a perihéliumban és újra az aféliumban. Leolvasási hibán belül egyezniük kell. A h = r·v segítségével magyarázd meg, miért kell lassabban mozognia a műholdnak, amikor r nagy (afélium), és gyorsabban, amikor r kicsi (perihélium), hogy h állandó maradjon.
2. Az időegységenként súrolt terület dA/dt = h/2. Mivel h állandó, egyenlő idők alatt egyenlő területek súródnak. Használd az első pálya mért h értékét a dA/dt kiszámításához, és erősítsd meg, hogy a h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) reprodukálja a szimulációról leolvasott értéket.
3. Hasonlítsd össze a műhold perihéliumi sebességét (v_p = h/r_p) a minden sorhoz számított v_esc szökési sebességgel. A v_p a v_esc felett vagy alatt van, és mit mond ez arról, hogy a pálya kötött marad-e?

5 · Kiterjesztés

1. A Halley-üstökös hónapok alatt száguld el a Nap mellett, de évtizedekig kúszik vissza a külső Naprendszerből. Az egyenlő területek törvényével magyarázd meg, miért tölt egy üstökös olyan kevés időt a pályájából a Nap közelében, és olyan sokat messze.
2. A fajlagos perdület h = r·v nem tartalmaz tömeget. Ha megduploznád a műhold tömegét, de azonosan indítanád, változna a mért h? És a teljes perdület L = m·r·v változna? Magyarázd meg a különbséget.

A fizika a kísérlet mögött

← Vissza a kísérlethez

138 ingyenes nyomtatható fizikai munkalap