Il modello di Bohr e gli spettri dell'idrogeno
Gli elettroni in un atomo occupano solo livelli energetici fissi, come i pioli di una scala — mai in mezzo. Quando un elettrone scende da un piolo più alto a uno più basso, emette un singolo fotone con esattamente quella differenza di energia: per questo l'idrogeno brilla di colori netti e distinti invece di un arcobalere liscio.
La formula
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — lunghezza d'onda (m): la lunghezza d'onda emessa dal salto dell'elettrone
- R — costante di Rydberg (1/m): una costante fissa che fissa la scala dei livelli dell'idrogeno
- n₁ — livello inferiore (—): il livello su cui atterra l'elettrone, più vicino al nucleo
- n₂ — livello superiore (—): il livello da cui parte l'elettrone, più lontano dal nucleo
Esempio risolto
Un elettrone nell'idrogeno scende dal livello energetico n = 3 al livello n = 2 — la prima riga della serie di Balmer. Trova 1/λ in funzione della costante di Rydberg R.
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
Mettiti alla prova
Quale fotone trasporta più energia: un elettrone che scende da n = 2 a n = 1 (Lyman), o da n = 3 a n = 2 (Balmer)?
- Risposta corretta: Lyman (n = 2 → 1)
- Balmer (n = 3 → 2)
- Trasportano la stessa energia
Giusto! Scendere fino a n = 1 è un salto energetico maggiore che scendere a n = 2, quindi il fotone di Lyman ha più energia — ecco perché cade nell'UV invece che nella luce visibile.
Per la transizione da n = 2 a n = 1 (la prima riga di Lyman), quanto vale 1/λ in funzione di R?
- R/4
- Risposta corretta: 3R/4
- 3R/2
Sì! 1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4, quindi 1/λ = 3R/4 — questa è la riga Lyman-alpha.
Dove lo vedi
Un tubo di scarica di idrogeno brilla di un caratteristico rosa-lilla invece che di un arcobaleno uniforme, e gli astronomi leggono la composizione di una stella dalle righe scure che i suoi atomi incidono nel suo spettro. Entrambe le cose derivano da elettroni che scendono tra pioli fissi: ogni discesa emette un fotone con esattamente quell'energia da piolo a piolo.
Errori comuni
Primo, quale salto vince: una caduta più grande libera un fotone più energetico — scendere fino a n = 1 (la serie di Lyman) emette più dello scendere a n = 2 (Balmer), perché i pioli si fanno più fitti man mano che si sale. Poi l'aritmetica dei pioli: la 1/λ del fotone sottrae gli inversi dei QUADRATI, quindi da n = 2 a n = 1 si ha 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4, che dà 1/λ = 3R/4 — non la semplice differenza degli n.
Come si collega
La quantizzazione dell'energia diventa atomica: i fotoni dell'effetto fotoelettrico ora spiegano perché mai gli atomi emettano righe nette. Ma i pioli di Bohr furono postulati, non spiegati — le onde di materia, la prossima lezione, forniscono il perché (le orbite permesse sono onde stazionarie), ed è per questo che questo modello viene insegnato come il brillante trampolino che è stato.