Terza legge di Keplero: periodo contro raggio
1 · Prevedi
Un satellite orbita attorno a una massa centrale su un'orbita circolare stabile. Spostandolo su un raggio maggiore, come cambia il tempo di un giro completo?
- Un'orbita più ampia richiede più tempo a giro.
- Il periodo è lo stesso a ogni raggio.
- Un'orbita più ampia richiede meno tempo a giro.
2 · Configurazione
- Apri il preset terza legge di Keplero. Un satellite orbita la massa centrale; timer orbitale e sonda di periodo sono già agganciati.
- Imposta il raggio orbitale r del satellite, poi lancialo lateralmente alla velocità d'orbita circolare mostrata sulla scheda formula v = √(GM/r), così l'orbita resta circolare.
- Lascia completare almeno un giro e leggi il periodo orbitale T dal timer quando l'orbita è stabile.
3 · Raccogli dati
| Raggio dell'orbita r (m) | Velocità circolare v (m/s) | Periodo misurato T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Traccia T² (asse verticale) contro r³ (asse orizzontale) per le tre orbite. Disegna la retta migliore per l'origine e trovalne la pendenza.
4 · Analizza
- Per ogni riga calcola T²/r³. I tre valori sono grossomodo uguali? Confronta la loro media con 4π²/GM usando GM = 40 (così 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- La tua retta T² contro r³ dovrebbe passare per l'origine. Spiega perché quella forma rettilinea passante per l'origine è esattamente ciò che T² = (4π²/GM)·r³ prevede, e cosa rappresenta la pendenza.
5 · Estendi
- I pianeti reali obbediscono alla stessa legge: Mercurio (piccola orbita) gira intorno al Sole in 88 giorni mentre Nettuno (grande orbita) impiega 165 anni. Usa T²/r³ = costante per spiegare questa enorme differenza.
- La costante di Keplero qui è 4π²/GM: dipende dalla massa centrale, non dal satellite. Prevedi cosa succede al periodo di ogni orbita se GM del corpo centrale raddoppiasse.
La fisica dietro questo esperimento
Terza legge di Keplero
Per qualsiasi orbita attorno a una data massa centrale, il periodo al quadrato è proporzionale al cubo del raggio medio: T²/r³ = 4π²/GM. Il rapporto è lo stesso per ogni orbita, quindi cronometrare un'orbita a un raggio noto rivela GM.
Velocità orbitale circolare
Un corpo su un'orbita circolare di raggio r deve viaggiare a v = √(GM/r): la velocità che fa sì che la gravità fornisca esattamente la forza centripeta necessaria. Lanciare a questa velocità mantiene l'orbita circolare anziché ellittica.