Elliptische banen: energie, ontsnappingssnelheid & excentriciteit
1 · Voorspel
Een satelliet wordt op straal r rond een centrale massa zijwaarts gelanceerd, met een snelheid onder de cirkelbaansnelheid. Beschrijft hij een gesloten ellips, houdt hij een perfecte cirkel, of vliegt hij weg en komt hij nooit terug?
- Hij zet zich in een gesloten, langgerekte ellips en keert elke omwenteling terug.
- Hij houdt een perfecte cirkel op de lanceerstraal.
- Hij ontsnapt aan de centrale massa en komt nooit terug.
2 · Opstelling
- Open de ellipsbaan-simulatie en druk op Herstel. De centrale massa staat in het midden van het canvas met zwaartekrachtsparameter GM = 40 m³/s².
- Zet de energie- en excentriciteitssondes op de satelliet aan zodat beide invarianten live worden getoond.
- Plaats voor elke meting hieronder de satelliet op straal r op de x-as, geef hem een puur zijwaartse (tangentiele) lanceersnelheid v, druk op Start en laat hem minstens één omwenteling voltooien voordat je de gestabiliseerde sondeaflezingen noteert.
3 · Verzamel gegevens
| Gravitatieparameter GM (m³/s²) | Startradius r (m) | Tangentiële worpsnelheid v (m/s) | Ontsnappingssnelheid v_esc (m/s) | Specifieke baanenergie ε (J/kg) | Excentriciteit e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Zet de gemeten excentriciteit e (y-as) uit tegen de specifieke baanenergie ε (x-as). Wat gebeurt er met de vorm van de baan als ε naar nul klimt?
4 · Analyseer
- Bereken voor elke rij de specifieke baanenergie ε = v²/2 − GM/r en controleer het teken. Wat zegt een negatieve ε over de vraag of de satelliet aan de centrale massa gebonden is?
- Vergelijk elke lanceersnelheid v met de door jou berekende ontsnappingssnelheid v_esc. De lancering is tangentieel, dus h = r·v; toon aan dat e = √(1 + 2εh²/GM²) de excentriciteit reproduceert die je in de simulatie afleest, en leg uit waarom een lancering dichter bij de ontsnappingssnelheid een langgerektere ellips geeft.
5 · Verdiep
- Welke tangentiele snelheid zou bij elke lanceerstraal de ellips in een perfecte cirkel veranderen? (Hint: v_circ = √(GM/r).) Ligt de lanceersnelheid in je tabel boven of onder die waarde, en hoe verklaart dat de vorm van de baan?
- Kometen met een lange omlooptijd hebben excentriciteiten dicht bij 1. Wat zegt dat over hun snelheid op het dichtste punt ten opzichte van de plaatselijke ontsnappingssnelheid — en waarom ontsnappen ze niet helemaal aan de zon?
De natuurkunde achter dit experiment
Ontsnappingssnelheid
De minimale tangentiele snelheid op straal r waarmee de satelliet zou kunnen ontsnappen aan de centrale massa. Een lancering onder deze snelheid houdt ε negatief en de baan gebonden — een ellips in plaats van een ongebonden baan.
Baansnelheid in cirkel
De tangentiele snelheid die op straal r een perfecte cirkel geeft. Langzamer lanceren (zoals in elke meting hier) laat de satelliet na het loslaten naar binnen vallen, met een ellips waarvan het lanceerpunt het verste apoapsis is.
Mechanica
- Projectielbeweging en kinetische energie
- Bal op een helling: energie op een wrijvingsloos schuin vlak
- Blok op een wrijvingshelling: de drempel van statische wrijving opzoeken
- Eindsnelheid: vallen door luchtweerstand
- Krachtenlab: de tweede wet van Newton
- Tegenwerkende krachten: de tweede wet van Newton & impuls
- Stuiterende bal: energieverlies bij de bots
- Elastische botsingen & impulsbehoud
- Onelastische botsing & impulsbehoud
- Newtons wieg: overdracht van impuls en energie
- Eenvoudige slinger
- Massa aan een veer: harmonische trilling