Derde wet van Kepler: omlooptijd versus straal

1 · Voorspel

Een satelliet cirkelt in een stabiele cirkelbaan rond een centrale massa. Als je hem naar een grotere baanstraal verplaatst, hoe verandert dan de tijd voor één volledige omwenteling?

2 · Opstelling

  1. Open de voorinstelling grav-kepler-law. Een satelliet draait rond de centrale massa; de baantimer en periodesonde zitten er al aan.
  2. Stel de baanstraal r van de satelliet in en lanceer hem daarna zijwaarts met de cirkelbaansnelheid die op de formulekaart v = √(GM/r) staat, zodat de baan cirkelvormig blijft.
  3. Laat de satelliet minstens één volledige ronde voltooien en lees de omlooptijd T af op de timer zodra de baan stabiel is.

3 · Verzamel gegevens

Baansstraal r (m)Omloopsnelheid v (m/s)Gemeten periode T (s)
2.50
3.50
4.50

Zet voor je drie banen T² (verticale as) uit tegen r³ (horizontale as). Teken de best passende rechte lijn door de oorsprong en bepaal de richtingscoëfficiënt.

4 · Analyseer

  1. Reken voor elke rij T²/r³ uit. Zijn de drie waarden ongeveer gelijk? Vergelijk hun gemiddelde met 4π²/GM met GM = 40 (dus 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
  2. Je T²-tegen-r³-lijn zou door de oorsprong moeten gaan. Leg uit waarom die rechte lijn door de oorsprong precies is wat T² = (4π²/GM)·r³ voorspelt en wat de richtingscoëfficiënt voorstelt.

5 · Verdiep

  1. Echte planeten volgen dezelfde wet: Mercurius (kleine baan) racet in 88 dagen rond de zon, terwijl Neptunus (grote baan) er 165 jaar over doet. Gebruik T²/r³ = constant om dit enorme verschil te verklaren.
  2. Keplers constante is hier 4π²/GM en hangt dus af van de centrale massa, niet van de satelliet. Voorspel wat er met de periode van elke baan gebeurt als GM van het centrale lichaam verdubbelt.

De natuurkunde achter dit experiment

Derde wet van Kepler

Bij elke baan rond een gegeven centrale massa is de periode in het kwadraat evenredig met de gemiddelde straal in de derde macht: T²/r³ = 4π²/GM. Die verhouding is voor elke baan gelijk, dus één baan timen op een bekende straal onthult GM.

Baansnelheid in cirkel

Een lichaam in een cirkelbaan met straal r moet bewegen met v = √(GM/r): de snelheid waarbij de zwaartekracht precies de benodigde middelpuntzoekende kracht levert. Lanceer je met deze snelheid, dan blijft de baan cirkelvormig in plaats van elliptisch.

← Terug naar experiment

Mechanica

138 gratis printbare labwerkbladen voor natuurkunde