Механика

Закон площадей

Заштрихованные сектора от M до следа заметают равные площади за равные промежутки времени.

Закон площадей — интерактивная симуляция (Механика). Заштрихованные сектора от M до следа заметают равные площади за равные промежутки времени. Бесплатная виртуальная физическая лаборатория в браузере с живыми измерениями в СИ и сопровождаемым туром.

Второй закон Кеплера

Линия от центральной массы к спутнику заметает равные площади за равные времена — спутник движется быстрее вблизи.

Сохранение момента импульса объясняет рост орбитальной скорости у перицентра. Равные площади видны как заштрихованные сектора на сцене в этом пресете.

• dA/dt = const
• L = mvr sin θ = const

Краткое описание исследования

Спланируйте вопрос до открытия лаборатории

Краткое описание повторяет предрендеренную страницу: движущий вопрос, конкурирующие прогнозы, роли переменных, определяющие законы, ход работы, анализ и задания для развития остаются видимыми и в этом порядке.

Движущий вопрос

Спутник на эллиптической орбите запущен боком в перигелии (ближайшей точке). Пока он движется к афелию и обратно, заметает ли линия от него до центральной массы площадь быстрее у перигелия, быстрее у афелия или одинаково везде?

Прогнозы для взвешивания

• Радиус-линия заметает площадь быстрее всего у перигелия, где спутник движется быстрее всего.
• Радиус-линия заметает равные площади за равные времена — одинаковая скорость по всей орбите.
• Радиус-линия заметает площадь быстрее всего у афелия, где у спутника больше всего простора.

Роли переменных

Что вы задали:

• Радиус перигелия r_p (m)
• Радиус афелия r_a (m)

Что вы измеряете:

• Вторая космическая в перигелии v_esc (m/s)
• Удельный момент импульса h (m²/s)

Как идёт исследование

1. Откройте симуляцию равных площадей и нажмите «Сброс». Центральная масса находится в центре сцены с гравитационным параметром GM = 40 м³/с², а заштрихованные секторы отмечают площадь, заметаемую радиус-линией спутника.
2. Включите датчик удельного момента импульса (h) и датчик эксцентриситета (e) на спутнике, чтобы оба инварианта показывались вживую.
3. Для каждой пробы ниже задайте радиус перигелия r_p и радиус афелия r_a, запустите спутник из перигелия с чисто боковой (касательной) скоростью, нажмите Play и дайте ему завершить хотя бы один полный оборот до записи установившегося показания h.

Определяющее уравнение

Вторая космическая скорость — v_esc = √(2GM / r)

Минимальная скорость на радиусе r, позволившая бы спутнику вырваться от центральной массы. Реальная скорость спутника в перигелии ниже неё, поэтому орбита остаётся связанной — замкнутый эллипс, заметающий равные площади за равные времена.

Круговая орбитальная скорость — v = √(GM / r)

Касательная скорость, дающая идеальную окружность на радиусе r. Запуск быстрее неё в перигелии (как в каждой эллиптической пробе здесь) выносит спутник наружу к далёкому афелию, прежде чем гравитация возвращает его.

Что печатный рабочий лист предлагает учащимся вывести

• Для одной орбиты запишите показание h в перигелии и снова в афелии. В пределах погрешности они должны совпасть. Используя h = r·v, объясните, почему спутник обязан двигаться медленнее при большом r (афелий) и быстрее при малом r (перигелий), чтобы h оставалось постоянным.
• Площадь, заметаемая за единицу времени, равна dA/dt = h/2. Раз h постоянно, равные площади заметаются за равные времена. По измеренному h первой орбиты вычислите dA/dt и убедитесь, что h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) воспроизводит значение, считанное с симуляции.
• Сравните скорость спутника в перигелии (v_p = h/r_p) с вычисленной вами для каждой строки скоростью убегания v_esc. Выше или ниже v_esc значение v_p, и что это говорит о связанности орбиты?

Где это проявляется за пределами лаборатории

• Комета Галлея проносится мимо Солнца за месяцы, но ползёт обратно из внешней части Солнечной системы десятилетиями. По закону площадей объясните, почему комета проводит так мало орбиты у Солнца и так много — вдали.
• Удельный угловой момент h = r·v не содержит массы. Если бы вы удвоили массу спутника, но запустили его так же, изменилось бы измеренное h? Изменился бы полный угловой момент L = m·r·v? Объясните разницу.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Добро пожаловать к закону площадей
2. Выберите спутник
3. Нажмите Play
4. Равные площади
5. Откройте данные
6. Готово!

Откройте интерактивную симуляцию, чтобы собрать сцену, нажать Play и исследовать с живыми измерениями и сопровождаемым туром.

Открыть интерактивную лабораторию →

Скачать рабочий лист →

Законы Кеплера