Второй закон Кеплера: равные площади и момент импульса

1 · Прогноз

Спутник на эллиптической орбите запущен боком в перигелии (ближайшей точке). Пока он движется к афелию и обратно, заметает ли линия от него до центральной массы площадь быстрее у перигелия, быстрее у афелия или одинаково везде?

• Радиус-линия заметает площадь быстрее всего у перигелия, где спутник движется быстрее всего.
• Радиус-линия заметает равные площади за равные времена — одинаковая скорость по всей орбите.
• Радиус-линия заметает площадь быстрее всего у афелия, где у спутника больше всего простора.

2 · Подготовка

1. Откройте симуляцию равных площадей и нажмите «Сброс». Центральная масса находится в центре сцены с гравитационным параметром GM = 40 м³/с², а заштрихованные секторы отмечают площадь, заметаемую радиус-линией спутника.
2. Включите датчик удельного момента импульса (h) и датчик эксцентриситета (e) на спутнике, чтобы оба инварианта показывались вживую.
3. Для каждой пробы ниже задайте радиус перигелия r_p и радиус афелия r_a, запустите спутник из перигелия с чисто боковой (касательной) скоростью, нажмите Play и дайте ему завершить хотя бы один полный оборот до записи установившегося показания h.

3 · Сбор данных

Постройте измеренный удельный момент импульса h (ось y) против радиуса перигелия r_p (ось x) для трёх орбит. Затем, наблюдая один оборот, набросайте, как скорость спутника меняется от перигелия к афелию — где она максимальна, где минимальна?

4 · Анализ

1. Для одной орбиты запишите показание h в перигелии и снова в афелии. В пределах погрешности они должны совпасть. Используя h = r·v, объясните, почему спутник обязан двигаться медленнее при большом r (афелий) и быстрее при малом r (перигелий), чтобы h оставалось постоянным.
2. Площадь, заметаемая за единицу времени, равна dA/dt = h/2. Раз h постоянно, равные площади заметаются за равные времена. По измеренному h первой орбиты вычислите dA/dt и убедитесь, что h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) воспроизводит значение, считанное с симуляции.
3. Сравните скорость спутника в перигелии (v_p = h/r_p) с вычисленной вами для каждой строки скоростью убегания v_esc. Выше или ниже v_esc значение v_p, и что это говорит о связанности орбиты?

5 · Развитие

1. Комета Галлея проносится мимо Солнца за месяцы, но ползёт обратно из внешней части Солнечной системы десятилетиями. По закону площадей объясните, почему комета проводит так мало орбиты у Солнца и так много — вдали.
2. Удельный угловой момент h = r·v не содержит массы. Если бы вы удвоили массу спутника, но запустили его так же, изменилось бы измеренное h? Изменился бы полный угловой момент L = m·r·v? Объясните разницу.

Физика этого эксперимента

← Вернуться к эксперименту