Законы Кеплера
Планеты движутся не по идеальным окружностям — они описывают эллипсы (растянутые окружности) с Солнцем в одном из фокусов, а не в центре. Приближаясь к Солнцу, планета ускоряется, а удаляясь — замедляется, заметая равные площади за равные времена. Чем дальше орбита планеты, тем дольше её год: квадрат периода растёт с кубом размера орбиты.
Формула
T² = k · a³
- T — период (yr): время, за которое планета завершает полный оборот
- a — большая полуось (AU): среднее расстояние планеты от Солнца
- k — коэффициент пропорциональности (yr²/AU³): равен 1 для всего, что обращается вокруг нашего Солнца в этих единицах
Решённый пример
Планета обращается вокруг Солнца с большой полуосью 4 astronomical units. Сколько лет занимает один оборот?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 лет
Проверьте себя
Другая планета обращается с большой полуосью 9 astronomical units. Каков её орбитальный период?
- 9 лет
- 81 год
- Правильный ответ: 27 лет
Правильно! T² = a³ = 9³ = 729, а корень из 729 — 27 лет.
Где по своей эллиптической орбите планета движется быстрее всего?
- Правильный ответ: Ближе всего к Солнцу
- Дальше всего от Солнца
- Скорость никогда не меняется
Верно! Равные площади за равные времена означают, что планета обязана ускоряться ближе всего к Солнцу.
Где вы это видите
Каждая планета в солнечной системе, каждый спутник вокруг планеты и каждый спутник вокруг Земли описывают эллипс в соответствии с этими тремя законами — они были открыты на основе невооружённых наблюдений Марса десятилетиями раньше, чем Ньютон объяснил, почему гравитация производит именно такое поведение. Кометы на сильно вытянутых эллипсах наиболее ярко демонстрируют второй закон, стремительно вращаясь вокруг Солнца при близком подходе и ползая рядом со своей самой дальней точкой.
Частые ошибки
Легко представить орбиты планет как круги с Солнцем в центре — на самом деле орбиты являются эллипсами с Солнцем в одном из фокусов, а не в центре, что означает, что расстояние планеты от Солнца на самом деле меняется в течение её года. Студенты также иногда предполагают, что планета движется с постоянной скоростью — второй закон говорит противоположное: планета ускоряется рядом с Солнцем и замедляется вдали от него, охватывая равные площади в равные времена в любом случае.
Как это связано
Кеплер открыл эти три закономерности, подогнав наблюдаемые положения Марса к данным, десятилетиями раньше того, как Ньютон показал, что все они следуют из одного закона силы: всемирного тяготения в сочетании с центростремительным движением. Вместе тяготение и законы Кеплера завершают последовательность механики, которая началась со свободного падения — одна и та же небольшая группа идей (сила, ускорение, энергия, импульс), которые описывали падающий шар, также описывают целую солнечную систему.