Закон сохранения энергии

При движении тела его энергия может перекачиваться туда-обратно между движением (кинетической энергией) и положением (потенциальной энергией), но полная механическая энергия остаётся неизменной, пока трение и сопротивление воздуха ничего не воруют. Падающее тело меняет высоту на скорость, а поднимающееся — скорость на высоту; сумма никогда не меняется.

Формула

E = ½ · m · v² + m · g · h

E — полная механическая энергия (J): суммарная энергия движения и положения, постоянная без трения
m — масса (kg): сколько вещества в теле
v — скорость (m/s): как быстро тело движется в этот момент
g — ускорение свободного падения (m/s²): сила гравитационного притяжения, около 9.8 m/s² у поверхности Земли
h — высота (m): насколько высоко тело над опорным уровнем

Решённый пример

Шар массой 2 кг проходит точку на высоте 5 м над землёй, двигаясь со скоростью 4 м/с. Используя g = 9.8 метра в секунду за секунду, чему равна его полная механическая энергия?

m = 2 kg
v = 4 m/s
h = 5 m

E = ½ · m · v² + m · g · h
E = ½ · 2 kg · (4 m/s)² + 2 kg · 9.8 m/s² · 5 m

E = 114 J

Проверьте себя

Тот же шар 2 kg теперь достигает высоты 10 m, по-прежнему двигаясь на 4 m/s в этой точке. Какова его полная механическая энергия?

228 J
Правильный ответ: 212 J
114 J

Верно! E = ½ × 2 кг × (4 м/с)² + 2 кг × 9.8 м/с² × 10 м = 16 Дж + 196 Дж = 212 Дж.

Шар скатывается по склону без трения, теряя высоту. Что происходит с его скоростью и полной механической энергией?

Правильный ответ: Скорость растёт, полная энергия неизменна
Скорость падает, полная энергия неизменна
Скорость растёт, полная энергия растёт

Точно! Высота превращается в скорость — кинетическая энергия растёт по мере падения потенциальной, но без трения сумма постоянна.

Где вы это видите

Маятник раскачивается выше всего на концах, где он кратко неподвижен, и быстрее всего в нижней части, меняя высоту на скорость и обратно с каждым колебанием. Самый высокий холм американских горок всегда первый — поездка никогда не может подняться выше своей начальной точки, как только она начинает преобразовывать высоту в скорость.

Частые ошибки

Частая ошибка — предполагать, что энергия «заканчивается», когда что-то замедляется — она не исчезает, она переходит в другую форму, обычно в тепло от трения или сопротивления воздуха, которое простой итоговый механический результат не отслеживает. Другая ошибка — путать зависимости кинетической и потенциальной энергии: потенциальная энергия (mgh) зависит только от высоты, а не от скорости, в то время как кинетическая энергия (½mv²) зависит только от скорости, а не от высоты.

Как это связано

Это вторая половина комплекта инструментов, с которого начало сохранение импульса: импульс отслеживает направление и всегда сохраняется в закрытой системе, в то время как механическая энергия отслеживает движение плюс положение и сохраняется только когда трение не крадёт её. Крутящий момент и рычаги далее применяют те же идеи силы к вращению вместо прямолинейного движения.