Формула тонкой линзы

Линза преломляет лучи так, что они снова сходятся в точке, образуя изображение. Где образуется изображение, зависит от того, как далеко предмет от линзы и насколько сильно линза преломляет свет — это её фокусное расстояние. Формула тонкой линзы связывает все три расстояния: зная любые два, можно найти третье.

Формула

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

  • f — фокусное расстояние (m): насколько сильно линза преломляет свет — где сходятся параллельные лучи
  • dₒ — расстояние до предмета (m): как далеко предмет от линзы
  • dᵢ — расстояние до изображения (m): как далеко от линзы образуется изображение

Решённый пример

У собирающей линзы фокусное расстояние 10 cm. Предмет помещён в 30 cm перед ней. Как далеко от линзы образуется изображение?

  • f = 10 cm
  • dₒ = 30 cm
  1. 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
  2. 1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

Проверьте себя

С той же линзой 10 cm предмет передвинут на 20 cm. Как далеко от линзы образуется изображение?
  • 10 cm
  • Правильный ответ: 20 cm
  • 30 cm

Верно! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 см − 1/20 см = 1/20 см, значит dᵢ = 20 см.

Для исходного примера (dₒ = 30 см, dᵢ = 15 см) чему равно увеличение и что оно говорит об изображении?
  • Правильный ответ: m = −0.5 — перевёрнутое и вдвое меньшее
  • m = 0.5 — прямое и вдвое меньшее
  • m = −2 — перевёрнутое и вдвое большее

Да — m = −dᵢ/dₒ = −15 см / 30 см = −0.5, значит изображение перевёрнуто и составляет половину высоты предмета.

Где вы это видите

Проектор, бросающий на стену резкую картинку, — это и есть это уравнение, работающее прямо на стене: слишком близко или слишком далеко — и изображение размывается, потому что при заданной линзе и заданном расстоянии до экрана фокусировку даёт только одно расстояние до предмета. Ваш собственный глаз выполняет его без остановки — его хрусталик меняет форму, чтобы изображение всего, на что вы смотрите, оставалось в фокусе на сетчатке.

Частые ошибки

Первая ошибка — считать расстояние до изображения свойством одной лишь линзы — оно движется вместе с предметом: при фокусном расстоянии 10 cm предмет на 30 cm даёт изображение на 15 cm, но сдвиньте его до 20 cm, и изображение перейдёт на 20 cm, согласно 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ. Вторая — небрежное чтение увеличения: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 несёт в одном числе два факта — минус говорит, что изображение перевёрнутое, а 0.5 — что оно вдвое меньше.

Как это связано

Линза — это преломление, поставленное на службу: две изогнутые поверхности, каждая из которых изламывает лучи по закону Снелла, и форма подобрана так, чтобы все изломы сходились вместе — и то, где они сойдутся, предсказывает именно это уравнение. Уравнение зеркала, идущее следом, оказывается точно такой же алгеброй, только отражение сидит на месте преломления — одна из приятных неожиданностей модуля.

Попробовать интерактивную симуляцию

Связанные концепции