Speciell relativitet: Tidsdilatation
Tidsdilatation
När något rör sig nära ljusets hastighet går tiden långsammare för det jämfört med någon som ser på utifrån. Det är inte ett trick med klockan — själva tiden sträcker sig verkligen ut, och rörliga föremål krymper längs sin rörelseriktning med exakt samma faktor.
Formeln
Δt = γ · Δt₀ , γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- Δt — dilaterad tid (s): tidsintervallet uppmätt av en observatör som ser klockan passera
- Δt₀ — egentid (s): tidsintervallet uppmätt av någon som rör sig tillsammans med klockan
- v — relativ hastighet (m/s): hur snabbt klockan rör sig i förhållande till observatören
- c — ljusets hastighet (m/s): den universella hastighetsgränsen, ungefär 3 × 10⁸ meter per sekund
- γ — Lorentzfaktor (none): hur mycket tiden sträcks och längden krymper vid den hastigheten
Genomräknat exempel
Ett rymdskepp susar förbi jorden med 0.8 gånger ljusets hastighet. En astronauts hjärtslag tar 3 sekunder enligt hennes egen klocka. Hur länge tar det hjärtslaget enligt en observatör på jorden?
- v = 0.8 c
- Δt₀ = 3 s
- γ = 1 / √(1 − 0.8²) = 5/3
- Δt = γ · Δt₀ = (5/3) · 3 s
Δt = 5 s
Testa dig själv
Astronautens hjärtslag tar nu 6 sekunder enligt hennes egen klocka, fortfarande vid 0.8c. Hur länge mäter observatören på jorden att det tar?
- 8 s
- Rätt svar: 10 s
- 3.6 s
Rätt! Gamma är fortfarande fem tredjedelar, så 6 s gånger fem tredjedelar är 10 s.
Nu färdas skeppet med 0.6 gånger ljusets hastighet, och egentiden är 4 sekunder. Vad mäter observatören på jorden?
- 3.2 s
- 4.6 s
- Rätt svar: 5 s
Exakt! Vid 0.6c är gamma 1.25, så 4 s gånger 1.25 är 5 s.
Var du ser detta
GPS-satelliter bär klockor som mätbart avviker från klockorna på marken, och systemet korrigerar för det varje dag — den svagare gravitationen på höjden får satellitklockorna att gå fort, något snabbare än att deras banhastighet gör dem långsamma. Myoner från kosmisk strålning, som föds i den övre atmosfären, borde ha sönderfallit långt innan de når marken, men de anländer i stora skaror: deras inre klocka går långsamt vid nära ljushastighet.
Vanliga misstag
Det återkommande misstaget är vilken tid som växer: den dilaterade tid som den utomstående observatören mäter är ALLTID längre än egentiden på den rörliges egen klocka — man multiplicerar med gamma, dividerar aldrig. Vid 0.8c är gamma 5/3, så ett hjärtslag på 6 sekunder ombord på skeppet tar 10 s på jorden; vid 0.6c är gamma 1.25, och 4 s egentid blir 5 s. Samma faktor krymper längder längs rörelseriktningen.
Hur det hänger ihop
Det här öppnar relativitetsteorin, den moderna fysikens andra pelare bredvid kvantlektionerna: inga fotoner, inga steg, bara att ljusets hastighet är konstant, vilket tvingar rum och tid att böja sig runt den. Dess mest berömda biprodukt, E = Δm · c², anländer i slutet av modulen som kärnbindningsenergi.