กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ พื้นที่เท่ากันกับโมเมนตัมเชิงมุม

1 · ทำนาย

ดาวเทียมบนวงโคจรวงรีถูกปล่อยไปด้านข้างที่จุดใกล้สุด เมื่อมันไต่ออกไปจุดไกลสุดและกลับ เส้นเชื่อมกับมวลกลางกวาดพื้นที่เร็วกว่าใกล้จุดใกล้สุด เร็วกว่าใกล้จุดไกลสุด หรือเท่ากันทุกที่

• เส้นรัศมีกวาดพื้นที่เร็วสุดใกล้จุดใกล้สุด ที่ดาวเทียมเคลื่อนที่เร็วที่สุด
• เส้นรัศมีกวาดพื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากัน — อัตราเดียวกันทุกจุดบนวงโคจร
• เส้นรัศมีกวาดพื้นที่เร็วสุดใกล้จุดไกลสุด ที่ดาวเทียมมีที่ว่างมากที่สุด

2 · จัดเตรียม

1. เปิดการจำลอง equal-areas แล้วกดรีเซ็ต มวลกลางอยู่กลางเวทีโดยมีพารามิเตอร์ความโน้มถ่วง GM = 40 m³/s² และชิ้นส่วนรูปลิ่มที่แรเงาไว้แสดงพื้นที่ที่เส้นรัศมีของดาวเทียมกวาดออก
2. เปิดโพรบโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ (h) และโพรบความรี (e) บนดาวเทียมเพื่อแสดงทั้งสองปริมาณคงตัวแบบสด
3. สำหรับรอบข้างล่างแต่ละรอบ ตั้งรัศมีจุดใกล้สุด r_p และจุดไกลสุด r_a ปล่อยดาวเทียมจากจุดใกล้สุดด้วยความเร็วไปด้านข้างล้วน (สัมผัส) กดเล่น และให้ครบอย่างน้อยหนึ่งวงโคจรเต็มก่อนบันทึกค่า h ที่นิ่งแล้ว

3 · เก็บข้อมูล

พล็อตโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ h ที่วัดได้ (แกน y) กับรัศมีจุดใกล้สุด r_p (แกน x) จากสามวงโคจร แล้วดูการรันหนึ่งคาบ ร่างว่าอัตราเร็วดาวเทียมเปลี่ยนจากจุดใกล้สุดไปจุดไกลสุดอย่างไร — เร็วสุดที่ไหน ช้าสุดที่ไหน

4 · วิเคราะห์

1. สำหรับหนึ่งวงโคจร จดค่า h ที่จุดใกล้สุดและจุดไกลสุด ภายในความคลาดเคลื่อนของการอ่าน สองค่านี้ควรเท่ากัน จงใช้ h = r·v อธิบายว่าทำไมดาวเทียมต้องเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อ r ใหญ่ (จุดไกลสุด) และเร็วขึ้นเมื่อ r เล็ก (จุดใกล้สุด) เพื่อให้ h คงที่
2. พื้นที่ที่กวาดต่อหน่วยเวลาคือ dA/dt = h/2 เนื่องจาก h คงที่ พื้นที่เท่ากันจึงถูกกวาดในเวลาเท่ากัน จงใช้ค่า h ที่วัดได้ของวงแรกคำนวณ dA/dt และยืนยันว่า h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) ให้ค่าเดียวกับที่อ่านได้จากการจำลอง
3. จงเปรียบเทียบความเร็วที่จุดใกล้สุดของดาวเทียม (v_p = h/r_p) กับความเร็วหลุดพ้น v_esc ที่คำนวณไว้ของแต่ละแถว v_p สูงหรือต่ำกว่า v_esc และนั่นบอกอะไรเกี่ยวกับการที่วงโคจรยังถูกยึดไว้หรือไม่

5 · ต่อยอด

1. ดาวหางฮัลเลย์พุ่งผ่านดวงอาทิตย์ในเวลาไม่กี่เดือน แต่ใช้เวลาหลายสิบปีร่อนกลับจากระบบสุริยะชั้นนอก ใช้กฎพื้นที่เท่ากันอธิบายว่าเหตุใดดาวหางจึงใช้ช่วงวงโคจรใกล้ดวงอาทิตย์น้อยมาก และอยู่ไกลนานมาก
2. โมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ h = r·v ไม่มีพจน์มวล ถ้าเพิ่มมวลดาวเทียมเป็นสองเท่าแต่ปล่อยด้วยวิธีเดิม ค่า h ที่วัดได้จะเปลี่ยนไหม โมเมนตัมเชิงมุมเต็ม L = m·r·v จะเปลี่ยนไหม จงอธิบายความต่าง

ฟิสิกส์เบื้องหลังการทดลองนี้

← กลับไปการทดลอง