Закони Кеплера
Планети рухаються не ідеальними колами — вони описують еліпси (розтягнуті кола), у яких Сонце сидить у фокусі, а не в центрі. Наближаючись до Сонця, планета прискорюється, а віддаляючись — сповільнюється, описуючи рівні площі за рівні часи. Чим далі орбіта планети, тим довший її рік, бо квадрат періоду зростає з кубом розміру орбіти.
Формула
T² = k · a³
- T — період (yr): час, за який планета робить один повний оберт
- a — велика піввісь (AU): середня відстань планети від Сонця
- k — коефіцієнт пропорційності (yr²/AU³): дорівнює 1 для будь-чого, що обертається навколо нашого Сонця в цих одиницях
Розв'язаний приклад
Планета обертається навколо Сонця з великою піввіссю 4 астрономічні одиниці. Скільки років триває один оберт?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 років
Перевірте себе
Інша планета обертається з великою піввіссю 9 астрономічних одиниць. Який її орбітальний період?
- 9 років
- 81 рік
- Правильна відповідь: 27 років
Правильно! T² = a³ = 9³ = 729, а квадратний корінь із 729 — 27 років.
Уздовж своєї еліптичної орбіти де планета рухається найшвидше?
- Правильна відповідь: Найближче до Сонця
- Найдальше від Сонця
- Швидкість ніколи не змінюється
Правильно! Рівні площі за рівні часи означають, що планета мусить прискорюватися, коли вона найближче до Сонця.
Де ви це бачите
Кожна планета в Сонячній системі, кожен супутник навколо планети та кожен штучний супутник навколо Землі описує еліпс, що підкоряється цим трьом законам — вони були відкриті завдяки спостереженням Марса неозброєним оком за десятиліття до того, як Ньютон пояснив, чому гравітація створює саме таку поведінку. Комети на дуже витягнутих еліпсах найяскравіше демонструють другий закон, стрімко облітаючи Сонце при близькому наближенні та повільно повзучи біля своєї найвіддаленішої точки.
Поширені помилки
Легко уявити орбіти планет як кола зі Сонцем у центрі — насправді орбіти є еліпсами зі Сонцем в одному фокусі, не в середині, тому відстань планети від Сонця насправді змінюється протягом року. Студенти також іноді припускають, що планета рухається з постійною швидкістю — другий закон каже протилежне: планета прискорюється поблизу Сонця і гальмує далеко від нього, описуючи рівні площі в рівні часові проміжки в будь-якому разі.
Як це пов'язано
Кеплер виявив ці три закономірності, узгоджуючи спостережувані положення Марса з даними, десятиліттями раніше, ніж Ньютон показав, що вони всі випливають з одного закону сили: універсальна гравітація в поєднанні з доцентровим рухом. Разом гравітація та закони Кеплера завершують послідовність механіки, яка почалася з вільного падіння — той самий набір ідей (сила, прискорення, енергія, імпульс), який описував кинуту кульку, також описує всю сонячну систему.