Еліптичні орбіти: енергія, друга космічна швидкість та ексцентриситет
1 · Прогноз
Супутник запущено боком на радіусі r біля центральної маси зі швидкістю нижче колової орбітальної. Він креслить замкнений еліпс, тримає досконале коло чи відлітає й не повертається?
- Він виходить на замкнений, видовжений еліпс і повертається кожної орбіти.
- Він тримає досконале коло на радіусі запуску.
- Він виривається від центральної маси й не повертається.
2 · Установка
- Відкрийте моделювання еліптичної орбіти та натисніть «Скинути». Центральна маса стоїть посередині сцени з гравітаційним параметром GM = 40 м³/с².
- Увімкніть датчики енергії та ексцентриситета на супутнику, щоб обидві інваріанти показувалися наживо.
- Для кожного заміру нижче розмістіть супутник на радіусі r на осі x, надайте йому чисто бічну (дотичну) швидкість запуску v, натисніть «Запустити» і дайте йому завершити щонайменше одну орбіту перед записом усталених показів.
3 · Збір даних
| Гравітаційний параметр GM (m³/s²) | Радіус запуску r (m) | Дотична швидкість запуску v (m/s) | Друга космічна v_esc (m/s) | Питома орбітальна енергія ε (J/kg) | Ексцентриситет e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Побудуйте графік виміряного ексцентриситета e (вісь y) проти питомої орбітальної енергії ε (вісь x). Коли ε підіймається до нуля, що стається з формою орбіти?
4 · Аналіз
- Обчисліть питому орбітальну енергію ε = v²/2 − GM/r для кожного рядка і підтвердьте знак. Що каже від'ємне ε про те, чи супутник зв'язаний із центральною масою?
- Порівняйте кожну швидкість запуску v з обчисленою другою космічною v_esc. Запуск дотичний, тож h = r·v; покажіть, що e = √(1 + 2εh²/GM²) відтворює ексцентриситет, зчитаний з моделювання, і поясніть, чому запуск ближче до другої космічної дає видовженіший еліпс.
5 · Поглиблення
- Для кожного радіуса запуску яка дотична швидкість перетворила б еліпс на досконале коло? (Підказка: v_circ = √(GM/r).) Швидкість запуску у вашій таблиці вище чи нижча за це значення і як це пояснює форму орбіти?
- Довгоперіодичні комети мають ексцентриситети близько до 1. Що це каже про їхню швидкість у найближчій точці відносно місцевої другої космічної — і чому вони все ж не тікають від Сонця?
Фізика цього експерименту
Друга космічна швидкість
Мінімальна дотична швидкість на радіусі r, яка дозволила б супутнику вирватися від центральної маси. Запуск нижче цієї швидкості лишає ε від'ємною, а орбіту зв'язаною — еліпс, а не вільна траєкторія.
Колова орбітальна швидкість
Дотична швидкість, що дає досконале коло на радіусі r. Запуск повільніший за неї (як у кожному замірі тут) опускає супутник всередину після відпускання, креслячи еліпс із точкою запуску як далеким апоапсисом.