Третій закон Кеплера: орбітальний період проти радіуса
1 · Прогноз
Супутник обертається навколо центральної маси стабільною коловою орбітою. Якщо перенести його на більший радіус орбіти, як зміниться час одного повного оберту?
- Більша орбіта займає більше часу на оберт.
- Період той самий на будь-якому радіусі.
- Більша орбіта займає менше часу на оберт.
2 · Установка
- Відкрийте пресет «Третій закон Кеплера». Супутник обертається навколо центральної маси; таймер орбіти та датчик періоду вже прикріплені.
- Задайте радіус орбіти r, потім запустіть супутник боком із коловою орбітальною швидкістю, показаною на картці формули v = √(GM/r), щоб орбіта лишилася коловою.
- Дозвольте супутнику завершити щонайменше одне повне коло й зчитайте орбітальний період T із таймера, коли орбіта усталилася.
3 · Збір даних
| Радіус орбіти r (m) | Колова швидкість v (m/s) | Виміряний період T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Побудуйте графік T² (вертикальна вісь) проти r³ (горизонтальна вісь) для трьох орбіт. Проведіть найкращу пряму через початок координат і знайдіть її нахил.
4 · Аналіз
- Для кожного рядка обчисліть T²/r³. Чи три значення приблизно рівні? Порівняйте їхнє середнє з 4π²/GM при GM = 40 (тобто 4π²/GM ≈ 0.99 с²/м³).
- Ваша лінія T²-від-r³ має проходити через початок координат. Поясніть, чому саме така пряма-через-початок — це те, що прогнозує T² = (4π²/GM)·r³, і що означає нахил.
5 · Поглиблення
- Справжні планети підпорядковуються тому ж законові: Меркурій (мала орбіта) пробігає навколо Сонця за 88 днів, тоді як Нептун (велика орбіта) — 165 років. Використайте T²/r³ = стала, щоб пояснити цю величезну різницю.
- Стала Кеплера тут — 4π²/GM, тож вона залежить від центральної маси, а не від супутника. Передбачте, що станеться з періодом кожної орбіти, якби GM центрального тіла подвоїли.
Фізика цього експерименту
Третій закон Кеплера
Для будь-якої орбіти навколо заданої центральної маси квадрат періоду пропорційний кубу середнього радіуса: T²/r³ = 4π²/GM. Відношення те саме для кожної орбіти, тож вимірювання однієї орбіти на відомому радіусі виявляє GM.
Колова орбітальна швидкість
Тіло на коловій орбіті радіуса r має рухатися з v = √(GM/r): ця швидкість робить гравітацію точно доцентровою силою. Запуск із нею тримає орбіту коловою, а не еліптичною.