نموذج بور وأطياف الهيدروجين
إلكترونات الذرة لا تشغل إلا مستويات طاقة محددة ثابتة، كدرجات سلم — لا تستطيع أبدًا الجلوس بينها. حين يقفز إلكترون من درجة أعلى إلى أدنى، يبث فوتونًا واحدًا يحمل فرق الطاقة ذاك بالضبط، ولهذا يتوهج الهيدروجين بألوان حادة مميزة لا قوس قزح ملس.
الصيغة
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — الطول الموجي (m): طول موجة الضوء المعطى بقفزة الإلكترون
- R — ثابت ريدبرغ (1/m): ثابت ثابت يحدد مقياس مستويات طاقة الهيدروجين
- n₁ — المستوى الأدنى (—): مستوى الطاقة الذي يهبط عليه الإلكترون، الأقرب للنواة
- n₂ — المستوى الأعلى (—): مستوى الطاقة الذي يبدأ منه الإلكترون، الأبعد عن النواة
مثال مشروح
إلكترون في ذرة هيدروجين يهبط من مستوى الطاقة n = 3 إلى مستوى الطاقة n = 2 — أول خط في متسلسلة بالمر. أوجد 1/λ بدلالة ثابت ريدبرغ R.
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
اختبر نفسك
أي فوتون يحمل طاقة أكبر: إلكترون يهبط من n = 2 إلى n = 1 (ليمان)، أم من n = 3 إلى n = 2 (بالمر)؟
- الإجابة الصحيحة: Lyman (n = 2 → 1)
- Balmer (n = 3 → 2)
- تحملان الطاقة نفسها
صحيح! الهبوط كليًا إلى n = 1 قفزة طاقة أكبر من الهبوط إلى n = 2، ففوتون ليمان يحمل طاقة أكثر — ولهذا يقع في الأشعة فوق البنفسجية لا الضوء المرئي.
للانتقال من n = 2 إلى n = 1 (أول خط ليمان)، ما 1/λ بدلالة R؟
- R/4
- الإجابة الصحيحة: 3R/4
- 3R/2
نعم! 1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4، إذن 1/λ = 3R/4 — هذا هو خط ألفا ليمان.
أين تراه
أنبوب تفريغ الهيدروجين يتوهج بلون خزاميّ ورديّ بعينه لا بقوس قزح ملس، ويقرأ الفلكيون تركيب النجم من الخطوط الداكنة التي تحفرها ذراته في طيفه. كلا الأمرين سببه هبوط الإلكترونات بين درجات سلم ثابتة: كل هبوط يبث فوتونًا واحدًا طاقته هي فرق الطاقة بين الدرجتين بالضبط.
الأخطاء الشائعة
أولًا، أي القفزات تكسب: الهبوط الأكبر يطلق فوتونًا أعلى طاقة — فالهبوط إلى n = 1 (سلسلة ليمان) يبث طاقة تفوق الهبوط إلى n = 2 (سلسلة بالمر)، لأن درجات السلم تتقارب كلما صعدت أعلى. ثم حساب الدرجات: 1/λ الخاص بالفوتون يطرح مربعات المقلوبات، فالهبوط من n = 2 إلى n = 1 يعطي 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4، ومن ثم 1/λ = 3R/4 — لا الفرق البسيط بين قيمتَي n.
كيف يرتبط
تكميم الطاقة يبلغ الذرة: فوتونات الظاهرة الكهروضوئية تفسر الآن لماذا تبث الذرات خطوطًا حادة أصلًا. لكن درجات بور فُرِضت فرضًا ولم تُفسَّر — موجات المادة، في الدرس التالي، تقدّم السبب (المدارات المسموحة أمواج واقفة)، ولهذا يُدرَّس هذا النموذج بوصفه درجة الانتقال العبقرية التي كان عليها حقًا.