Eliptické dráhy: energie, úniková rychlost a excentricita

1 · Predikuj

Družice je vystřelena bokem při poloměru r kolem centrální hmoty rychlostí nižší než rychlost kruhové dráhy. Vykreslí uzavřenou elipsu, udrží dokonalou kružnici, nebo odletí a už se nevrátí?

2 · Sestavení

  1. Otevři simulaci eliptické oběžné dráhy a stiskni Resetovat. Centrální hmota sedí uprostřed plátna s gravitačním parametrem GM = 40 m³/s².
  2. Zapni sondy energie a excentricity na družici, aby byly obě invarianty zobrazeny živě.
  3. Pro každý pokus níže umísti družici při poloměru r na ose x, dej jí čistě boční (tečnou) rychlost v, stiskni Spustit a nech ji dokončit alespoň jeden oběh před zapsáním ustálených odečtů sond.

3 · Sbírej data

Gravitační parametr GM (m³/s²)Poloměr vypuštění r (m)Tečná rychlost vypuštění v (m/s)Úniková rychlost v_esc (m/s)Specifická oběžná energie ε (J/kg)Excentricita e
40.002.004.00
40.003.203.00
40.004.002.40
40.005.002.00

Vynes naměřenou excentricitu e (osa y) proti měrné oběžné energii ε (osa x). Jak ε stoupá k nule, co se děje s tvarem dráhy?

4 · Analyzuj

  1. Spočti měrnou oběžnou energii ε = v²/2 − GM/r pro každý řádek a potvrď znaménko. Co ti záporné ε říká o tom, zda je družice vázaná k centrální hmotě?
  2. Porovnej každou rychlost vystřelení v s únikovou rychlostí v_esc, kterou jsi spočítal. Vystřelení je tečné, takže h = r·v; ukaž, že e = √(1 + 2εh²/GM²) reprodukuje excentricitu odečtenou ze simulace, a vysvětli, proč vystřelení blíž únikové rychlosti dává protaženější elipsu.

5 · Rozšiř

  1. Pro každý poloměr vystřelení — jaká tečná rychlost by z elipsy udělala dokonalou kružnici? (Nápověda: v_circ = √(GM/r).) Je rychlost vystřelení v tvé tabulce nad, nebo pod touto hodnotou a jak to vysvětluje tvar dráhy?
  2. Dlouhoperiodické komety mají excentricity blízko 1. Co to implikuje o jejich rychlosti v nejbližším průchodu vzhledem k místní únikové rychlosti — a proč úplně neuniknou Slunci?

Fyzika za tímto experimentem

Úniková rychlost

Minimální tečná rychlost při poloměru r, která by družici dovolila uniknout centrální hmotě. Vystřelení pod touto rychlostí drží ε zápornou a dráhu vázanou — elipsu místo nevázané trajektorie.

Rychlost po kruhové dráze

Tečná rychlost, která při poloměru r vytváří dokonalou kružnici. Pomalejší vystřelení (jako v každém pokusu tady) zhroutí družici po puštění dovnitř a kreslí elipsu s bodem vystřelení jako vzdáleným apocentrem.

← Zpět na experiment

Mechanika

138 bezplatných tisknutelných pracovních listů z fyziky