قوانین کپلر برای حرکت سیاره‌ها
سیاره‌ها در دایره‌های کامل نمی‌گردند — بیضی می‌ترسند (دایره‌های کشیده) با خورشید روی یکی از کانون‌ها، نه مرکز. سیاره وقتی به خورشید نزدیک‌تر می‌شود تندتر و وقتی دورتر می‌رود کندتر می‌شود و در زمان‌های برابر مساحت‌های برابر جارو می‌کند. هر چه مدار سیاره دورتر باشد، سالش طولانی‌تر است، چون مربع تناوب با مکعب اندازهٔ مدار رشد می‌کند.
فرمول
T² = k · a³
- T — تناوب (yr): زمانی که سیاره برای یک دور کامل لازم دارد
- a — نیم‌محور بزرگ (AU): فاصلهٔ میانگین سیاره از خورشید
- k — ثابت تناسب (yr²/AU³): برای هر چه گرد خورشید ما بچرخد، در این یکاها برابر 1 است
مثال حل‌شده
سیاره‌ای خورشید را با نیم‌قطر بزرگ 4 واحد نجومی می‌پیماید. یک دور کامل چقدر طول می‌کشد؟
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 سال
خودتان را بیازمایید
سیارهٔ دیگری با نیم‌قطر بزرگ 9 واحد نجومی می‌گردد. تناوب مداری‌اش چند است؟
- 9 سال
- 81 سال
- پاسخ درست: 27 سال
درست است! T² = a³ = 9³ = 729، و جذر 729 برابر 27 سال است.
در مسیر مدار بیضوی‌اش، سیاره کجا تندترین حرکت را دارد؟
- پاسخ درست: نزدیک‌ترین جا به خورشید
- دورترین جا از خورشید
- تندی هیچ‌وقت تغییر نمی‌کند
درست! مساحت‌های برابر در زمان‌های برابر یعنی سیاره باید وقتی نزدیک‌ترین جایش به خورشید است تندتر برود.
کجا آن را می‌بینید
هر سیاره در منظومه‌ی شمسی، هر ماهواره‌ی یک سیاره، و هر ماهواره‌ی زمین یک بیضی را پیش می‌روند که از این سه قانون پیروی می‌کند — این‌ها از مشاهدات بدون تلسکوپ مریخ کشف شدند، دهه‌ها قبل از آن که نیوتن توضیح دهد چرا گرانش دقیقاً این رفتار را ایجاد می‌کند. دنباله‌هایی با بیضی‌های بسیار کشیده‌شده قانون دوم را بیش‌تر از همه نشان می‌دهند، با سرعت برای رسیدن به خورشید و حرکت آهسته در دورترین نقطه‌ی خود.
اشتباهات رایج
تصور کردن مدار سیاره‌ای به شکل دایره با خورشید در مرکز، آسان است — اما مدارهای واقعی بیضی‌هایی هستند که خورشید در یکی از کانون‌های آن قرار دارد، نه در وسط. این همان دلیلی است که فاصله‌ی سیاره از خورشید در طول سال واقعی تغییر می‌کند. دانش‌آموزان اغلب فرض می‌کنند که سیاره با سرعت ثابت حرکت می‌کند — اما قانون دوم کپلر نقیض این است: سیاره نزدیک خورشید سریع‌تر حرکت می‌کند و دور از خورشید کندتر حرکت می‌کند، در حالی که در هر دو صورت مساحت‌های مساوی را در زمان‌های مساوی طی می‌کند.
چگونه ارتباط دارد
کپلر این سه الگو را با تطابق مواضع مشاهده‌شده‌ی مریخ با داده‌ها کشف کرد، دهه‌ها قبل از آن که نیوتن نشان دهد همه این‌ها از یک قانون نیرو ناشی می‌شوند: گرانش جهانی ترکیب شده با حرکت مرکزگرا. در مجموع، گرانش و قوانین کپلر دنباله‌ی مکانیک را که با سقوط آزاد شروع شده بود، تمام می‌کنند — همان حفنه‌ی ایده‌ها (نیرو، شتاب، انرژی، تکانه) که حرکت یک توپ افتاده را توصیف می‌کردند، کل منظومه‌ی شمسی را نیز توصیف می‌کنند.