مدارهای بیضوی: انرژی، سرعت گریز و خروج از مرکز
1 · پیشبینی
ماهوارهای در شعاع r پیرامون جرم مرکزی، با تندیای زیر سرعت مدار دایرهای به پهلو پرتاب میشود. آیا بیضی بستهای میترسد، دایرهٔ کامل نگه میدارد یا میپرد و دیگر برنمیگردد؟
- در بیضی بسته و کشیدهای جا میگیرد و هر دور برمیگردد.
- دایرهٔ کاملی در شعاع پرتاب نگه میدارد.
- از جرم مرکزی میگریزد و دیگر برنمیگردد.
2 · آمادهسازی
- شبیهسازی مدار بیضوی را باز کنید و Reset را بفشارید. جرم مرکزی با پارامتر گرانشی GM = 40 m³/s² در وسط صحنه قرار دارد.
- کاوشگرهای انرژی و خروج از مرکز را روی ماهواره فعال کنید تا هر دو ناوردا زنده نمایش یابند.
- برای هر آزمایش زیر، ماهواره را روی محور x در شعاع r بگذارید، تندی پرتاب کاملاً پهلو (مماسی) v بدهید، Play بفشارید و بگذارید دستکم یک دور کامل بزند پیش از ثبت قرائتهای آرامگرفتهٔ کاوشگرها.
3 · گردآوری داده
| پارامتر گرانشی GM (m³/s²) | شعاع پرتاب r (m) | تندی مماسی پرتاب v (m/s) | تندی گریز v_esc (m/s) | انرژی مداری ویژه ε (J/kg) | خروج از مرکز e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
خروج از مرکز اندازهگیریشده e (محور y) را بر حسب انرژی مداری ویژه ε (محور x) رسم کنید. با نزدیکشدن ε به صفر، شکل مدار چه میشود؟
4 · تحلیل
- انرژی مداری ویژهٔ ε = v²/2 − GM/r را برای هر ردیف حساب کنید و علامت آن را تأیید کنید. ε منفی چه چیزی دربارهٔ مقید بودن ماهواره به جرم مرکزی میگوید؟
- هر تندی پرتاب v را با تندی گریز v_esc که محاسبه کردهاید مقایسه کنید. پرتاب مماسی است، پس h = r·v؛ نشان دهید که e = √(1 + 2εh²/GM²) همان خروج از مرکزی را بازتولید میکند که از شبیهسازی میخوانید، و توضیح دهید چرا پرتاب نزدیکتر به تندی گریز، بیضوی کشیدهتری میدهد.
5 · گسترش
- برای هر شعاع پرتاب، چه تندی مماسیای بیضه را به دایرهٔ کامل تبدیل میکند؟ (راهنما: v_circ = √(GM/r).) تندی پرتاب جدول شما بالاتر است یا پایینتر از آن مقدار، و چگونه این شکل مدار را توضیح میدهد؟
- دنبالهدارهای بلندمدت خروج از مرکز نزدیک 1 دارند. این دربارهٔ تندیشان در نزدیکترین گذر نسبت به سرعت گریز محلی چه میگوید — و چرا تقریباً از خورشید نمیگریزند؟
فیزیک پشت این آزمایش
تندی گریز
کمینهٔ تندی مماسی در شعاع r که ماهواره را از چنگ جرم مرکزی آزاد میکرد. پرتاب زیر این تندی، ε را منفی و مدار را مقید نگه میدارد — بیضی، نه مسیر آزاد.
تندی مدار دایرهای
تندی مماسی که در شعاع r دایرهٔ کامل میسازد. پرتاب کندتر از این (مثل هر آزمایش اینجا) ماهواره را پس از رهاشدن به درون میاندازد و بیضیای میترسد که نقطهٔ پرتاب، دورترین اوج آن است.