قانون دوم کپلر: مساحتهای برابر و تکانهٔ زاویهای
1 · پیشبینی
ماهوارهای در مدار بیضوی از حضیض (نزدیکترین گذر) به پهلو پرتاب میشود. با سُرخوردن تا اوج و بازگشت، آیا خط پیوندش با جرم مرکزی نزدیک حضیض تندتر مساحت میجارود، نزدیک اوج تندتر، یا همهجا با همان نرخ؟
- خط شعاع نزدیک حضیض تندترین مساحت میجارود، جایی که ماهواره تندترین حرکت را دارد.
- خط شعاع در زمانهای برابر مساحتهای برابر میجارود — همان نرخ در همهجای مدار.
- خط شعاع نزدیک اوج تندترین مساحت میجارود، جایی که ماهواره جای حرکت بیشتری دارد.
2 · آمادهسازی
- شبیهسازی سطحهای برابر را باز کنید و Reset را بفشارید. جرم مرکزی با پارامتر گرانشی GM = 40 m³/s² در وسط صحنه است و گوههای بخشِ سایهدار، سطحی را که خط شعاع ماهواره جارو میکند دنبال میکنند.
- کاوشگرهای تکانهٔ زاویهای ویژه (h) و خروج از مرکز (e) را روی ماهواره فعال کنید تا هر دو ناوردا زنده نمایش یابند.
- برای هر آزمایش زیر، شعاع حضیض r_p و شعاع اوج r_a را تنظیم کنید، ماهواره را از حضیض با سرعت کاملاً پهلو (مماسی) پرتاب کنید، Play بفشارید و بگذارید دستکم یک دور کامل بزند پیش از ثبت قرائت آرامگرفتهٔ h.
3 · گردآوری داده
| شعاع حضیض r_p (m) | شعاع اوج r_a (m) | سرعت گریز در حضیض v_esc (m/s) | تکانهٔ زاویهای ویژه h (m²/s) |
|---|---|---|---|
| 2.50 | 5.00 | ||
| 2.00 | 6.00 | ||
| 3.00 | 4.00 |
برای سه مدار، تکانهٔ زاویهای ویژهٔ اندازهگیریشده h (محور y) را بر حسب شعاع حضیض r_p (محور x) رسم کنید. سپس با تماشای یک دور کامل، تغییر تندی ماهواره از حضیض تا اوج را ترسیم کنید — کجا تندترین و کجا کندترین است؟
4 · تحلیل
- برای یک مدار، قرائت h را در حضیض و دوباره در اوج یادداشت کنید. در حد خطای قرائت باید برابر باشند. با h = r·v توضیح دهید چرا ماهواره وقتی r بزرگ است (اوج) باید کندتر و وقتی r کوچک است (حضیض) تندتر حرکت کند تا h ثابت بماند.
- سطح جاروشده در واحد زمان برابر است با dA/dt = h/2. چون h ثابت است، در زمانهای برابر سطحهای برابری جارو میشود. با h اندازهگیریشدهٔ خود برای مدار اول، dA/dt را حساب کنید و تأیید کنید که h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) همان مقداری را بازتولید میکند که از شبیهسازی میخوانید.
- تندی حضیض ماهواره (v_p = h/r_p) را با تندی گریز v_esc که برای هر ردیف حساب کردهاید مقایسه کنید. آیا v_p بالاتر است یا پایینتر از v_esc، و این دربارهٔ مقید ماندن مدار چه میگوید؟
5 · گسترش
- دنبالهدار هالی در چند ماه از کنار خورشید میگذرد اما برگشتنش از دورترین منظومه دههها طول میکشد. با قانون مساحتهای برابر توضیح دهید چرا دنبالهدار اینقدر کم از مدارش را نزدیک خورشید و اینقدر زیادش را دور میگذراند.
- تکانهٔ زاویهای ویژهٔ h = r·v هیچ جملهٔ جرمی ندارد. اگر جرم ماهواره را دو برابر کنید ولی همانگونه پرتابش کنید، h اندازهگیریشده تغییر میکند؟ تکانهٔ زاویهای کامل آن L = m·r·v تغییر میکند؟ این تفاوت را توضیح دهید.
فیزیک پشت این آزمایش
تندی گریز
کمینهٔ تندی در شعاع r که ماهواره را از چنگ جرم مرکزی آزاد میکرد. تندی حضیض واقعی ماهواره زیر این مقدار میماند، پس مدار مقید میماند — بیضی بستهای که در زمانهای برابر مساحتهای برابر میجارود.
تندی مدار دایرهای
تندی مماسی که در شعاع r دایرهٔ کامل میسازد. پرتاب تندتر از این در حضیض (که هر آزمایش بیضوی اینجا میکند) ماهواره را به اوجی دور میفرستد پیش از آنکه گرانش برگرداندش.