مکانیک
جاروب مساحتهای برابر
گوههای سایهدار از M تا دنباله، در زمانهای برابر مساحتهای برابر را جارو میکنند.
جاروب مساحتهای برابر — شبیهسازی تعاملی مکانیک. گوههای سایهدار از M تا دنباله، در زمانهای برابر مساحتهای برابر را جارو میکنند. آزمایشگاه مجازی فیزیکِ رایگانِ مرورگری با اندازهگیریهای زندهٔ SI و آموزش هدایتشده.
قانون دوم کپلر
خطی از جرم مرکزی تا ماهواره در زمانهای برابر مساحتهای برابر میجارود — ماهواره نزدیکتر تندتر است.
پایستگی تکانهٔ زاویهای توضیح میدهد چرا تندی مداری نزدیک حضیض زیاد میشود. جاروبهای مساحتبرابر در این پیشتنظیم همچون گوههای سایهدار روی صحنه دیده میشوند.
- dA/dt = ثابت
- L = mvr sin θ = ثابت
خلاصهٔ پژوهش
پرسش را پیش از بازکردن آزمایشگاه برنامهریزی کنید
این خلاصه همان صفحهٔ از پیش رندرشده است: پرسش محوری، پیشبینیهای رقیب، نقش متغیرها، قوانین حاکم، برپاسازی، تحلیل و پرسشهای گسترش — به همین ترتیب و همیشه در دید میمانند.
پرسش محوری
ماهوارهای در مدار بیضوی از حضیض (نزدیکترین گذر) به پهلو پرتاب میشود. با سُرخوردن تا اوج و بازگشت، آیا خط پیوندش با جرم مرکزی نزدیک حضیض تندتر مساحت میجارود، نزدیک اوج تندتر، یا همهجا با همان نرخ؟
پیشبینیهایی که باید سنجیده شوند
- خط شعاع نزدیک حضیض تندترین مساحت میجارود، جایی که ماهواره تندترین حرکت را دارد.
- خط شعاع در زمانهای برابر مساحتهای برابر میجارود — همان نرخ در همهجای مدار.
- خط شعاع نزدیک اوج تندترین مساحت میجارود، جایی که ماهواره جای حرکت بیشتری دارد.
نقش متغیرها
آنچه شما تنظیم میکنید:
- شعاع حضیض r_p (m)
- شعاع اوج r_a (m)
آنچه اندازه میگیرید:
- سرعت گریز در حضیض v_esc (m/s)
- تکانهٔ زاویهای ویژه h (m²/s)
پژوهش چگونه اجرا میشود
- شبیهسازی سطحهای برابر را باز کنید و Reset را بفشارید. جرم مرکزی با پارامتر گرانشی GM = 40 m³/s² در وسط صحنه است و گوههای بخشِ سایهدار، سطحی را که خط شعاع ماهواره جارو میکند دنبال میکنند.
- کاوشگرهای تکانهٔ زاویهای ویژه (h) و خروج از مرکز (e) را روی ماهواره فعال کنید تا هر دو ناوردا زنده نمایش یابند.
- برای هر آزمایش زیر، شعاع حضیض r_p و شعاع اوج r_a را تنظیم کنید، ماهواره را از حضیض با سرعت کاملاً پهلو (مماسی) پرتاب کنید، Play بفشارید و بگذارید دستکم یک دور کامل بزند پیش از ثبت قرائت آرامگرفتهٔ h.
معادلهٔ حاکم
تندی گریز — v_esc = √(2GM / r)
کمینهٔ تندی در شعاع r که ماهواره را از چنگ جرم مرکزی آزاد میکرد. تندی حضیض واقعی ماهواره زیر این مقدار میماند، پس مدار مقید میماند — بیضی بستهای که در زمانهای برابر مساحتهای برابر میجارود.
تندی مدار دایرهای — v = √(GM / r)
تندی مماسی که در شعاع r دایرهٔ کامل میسازد. پرتاب تندتر از این در حضیض (که هر آزمایش بیضوی اینجا میکند) ماهواره را به اوجی دور میفرستد پیش از آنکه گرانش برگرداندش.
برگهٔ کار چاپی از دانشآموزان چه میخواهد به دست آورند
- برای یک مدار، قرائت h را در حضیض و دوباره در اوج یادداشت کنید. در حد خطای قرائت باید برابر باشند. با h = r·v توضیح دهید چرا ماهواره وقتی r بزرگ است (اوج) باید کندتر و وقتی r کوچک است (حضیض) تندتر حرکت کند تا h ثابت بماند.
- سطح جاروشده در واحد زمان برابر است با dA/dt = h/2. چون h ثابت است، در زمانهای برابر سطحهای برابری جارو میشود. با h اندازهگیریشدهٔ خود برای مدار اول، dA/dt را حساب کنید و تأیید کنید که h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) همان مقداری را بازتولید میکند که از شبیهسازی میخوانید.
- تندی حضیض ماهواره (v_p = h/r_p) را با تندی گریز v_esc که برای هر ردیف حساب کردهاید مقایسه کنید. آیا v_p بالاتر است یا پایینتر از v_esc، و این دربارهٔ مقید ماندن مدار چه میگوید؟
کجا غیر از آزمایشگاه خودش را نشان میدهد
- دنبالهدار هالی در چند ماه از کنار خورشید میگذرد اما برگشتنش از دورترین منظومه دههها طول میکشد. با قانون مساحتهای برابر توضیح دهید چرا دنبالهدار اینقدر کم از مدارش را نزدیک خورشید و اینقدر زیادش را دور میگذراند.
- تکانهٔ زاویهای ویژهٔ h = r·v هیچ جملهٔ جرمی ندارد. اگر جرم ماهواره را دو برابر کنید ولی همانگونه پرتابش کنید، h اندازهگیریشده تغییر میکند؟ تکانهٔ زاویهای کامل آن L = m·r·v تغییر میکند؟ این تفاوت را توضیح دهید.
- AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
- AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
- IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
- IB Physics — D.1 Gravitational fields
- General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
- NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces
- به مساحتهای برابر گرانشی خوش آمدید
- انتخاب ماهواره
- Play را بفشارید
- مساحتهای برابر
- بازکردن دادهها
- انجامش دادید!
شبیهسازی تعاملی را باز کنید تا صحنه را بسازید، Play را بفشارید و با اندازهگیریهای زنده و آموزش هدایتشده کاوش کنید.
قوانین کپلر برای حرکت سیارهها