قانون سوم کپلر: تناوب مداری در برابر شعاع
1 · پیشبینی
ماهوارهای در مدار دایرهای پایدار به گرد جرم مرکزی میچرخد. وقتی به شعاع مداری بزرگتر میبریدش، زمان یک دور کامل چگونه تغییر میکند؟
- مدار بزرگتر هر دور طولانیتر میکشد.
- تناوب در هر شعاع همان است.
- مدار بزرگتر هر دور کمتر میکشد.
2 · آمادهسازی
- پیشتنظیم کپلر را باز کنید. ماهواره به گرد جرم مرکزی میچرخد؛ زمانسنج مدار و کاوشگر تناوب از پیش وصلاند.
- شعاع مدار ماهواره r را تنظیم کنید، سپس آن را به پهلو با تندی مدار دایرهای که روی کارت فرمول v = √(GM/r) نشان داده شده پرتاب کنید تا مدار دایرهای بماند.
- بگذارید ماهواره دستکم یک دور کامل بزند و وقتی مدار پایا شد تناوب T را از زمانسنج بخوانید.
3 · گردآوری داده
| شعاع مدار r (m) | تندی دایرهای v (m/s) | تناوب اندازهگیریشده T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
برای سه مدار، T² (محور عمودی) را بر حسب r³ (محور افقی) رسم کنید. بهترین خط راست از مبدأ را بکشید و شیبش را بیابید.
4 · تحلیل
- برای هر ردیف T²/r³ را حساب کنید. آیا سه مقدار تقریباً برابرند؟ میانگین آنها را با 4π²/GM مقایسه کنید، با GM = 40 (بهطوریکه 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- خط T² برحسب r³ شما باید از مبدأ بگذرد. توضیح دهید چرا این شکل خطراستِ گذرنده از مبدأ دقیقاً همان چیزی است که T² = (4π²/GM)·r³ پیشبینی میکند، و شیب نمایانگر چیست.
5 · گسترش
- سیارههای واقعی همین قانون را رعایت میکنند: عطارد (مدار کوچک) در 88 روز به دور خورشید میچرخد در حالی که نپتون (مدار بزرگ) 165 سال طول میکشد. با رابطهٔ T²/r³ = ثابت این تفاوت عظیم را توضیح دهید.
- ثابت کپلر اینجا 4π²/GM است، پس به جرم مرکزی بستگی دارد نه ماهواره. پیشبینی کنید اگر GM جرم مرکزی دو برابر میشد، با تناوب هر مداری چه میشد.
فیزیک پشت این آزمایش
قانون سوم کپلر
برای هر مداری حول یک جرم مرکزی معین، مجذور تناوب با مکعب شعاع میانگین متناسب است: T²/r³ = 4π²/GM. این نسبت برای همهٔ مدارها یکسان است، پس زمانگیری یک مدار در شعاع معلوم، GM را آشکار میکند.
تندی مدار دایرهای
جسمی در مدار دایرهای به شعاع r باید با v = √(GM/r) حرکت کند: تندیای که گرانش را وادار میکند دقیقاً نیروی مرکزگرای لازم را تأمین کند. پرتاب با این تندی مدار را دایرهای نگه میدارد، نه بیضوی.