مکانیک
قانون سوم کپلر
پس از یک دور کامل، T²/r³ اندازهگیریشده را با 4π²/GM مقایسه کنید.
قانون سوم کپلر — شبیهسازی تعاملی مکانیک. پس از یک دور کامل، T²/r³ اندازهگیریشده را با 4π²/GM مقایسه کنید. آزمایشگاه مجازی فیزیکِ رایگانِ مرورگری با اندازهگیریهای زندهٔ SI و آموزش هدایتشده.
قانون سوم کپلر
برای مدار دایرهای، مربع تناوب با مکعب شعاع متناسب است: T² ∝ r³.
ترکیب نیروی مرکزگرا با گرانش، تناوب مداری را میدهد. مقایسهٔ T و r برای مدارهای مختلف، همان نسبت T²/r³ را برای جرم مرکزی معین آشکار میکند.
- T²/r³ = 4π²/GM
- v = 2πr/T
خلاصهٔ پژوهش
پرسش را پیش از بازکردن آزمایشگاه برنامهریزی کنید
این خلاصه همان صفحهٔ از پیش رندرشده است: پرسش محوری، پیشبینیهای رقیب، نقش متغیرها، قوانین حاکم، برپاسازی، تحلیل و پرسشهای گسترش — به همین ترتیب و همیشه در دید میمانند.
پرسش محوری
ماهوارهای در مدار دایرهای پایدار به گرد جرم مرکزی میچرخد. وقتی به شعاع مداری بزرگتر میبریدش، زمان یک دور کامل چگونه تغییر میکند؟
پیشبینیهایی که باید سنجیده شوند
- مدار بزرگتر هر دور طولانیتر میکشد.
- تناوب در هر شعاع همان است.
- مدار بزرگتر هر دور کمتر میکشد.
نقش متغیرها
آنچه شما تنظیم میکنید:
- شعاع مدار r (m)
آنچه اندازه میگیرید:
- تندی دایرهای v (m/s)
- تناوب اندازهگیریشده T (s)
پژوهش چگونه اجرا میشود
- پیشتنظیم کپلر را باز کنید. ماهواره به گرد جرم مرکزی میچرخد؛ زمانسنج مدار و کاوشگر تناوب از پیش وصلاند.
- شعاع مدار ماهواره r را تنظیم کنید، سپس آن را به پهلو با تندی مدار دایرهای که روی کارت فرمول v = √(GM/r) نشان داده شده پرتاب کنید تا مدار دایرهای بماند.
- بگذارید ماهواره دستکم یک دور کامل بزند و وقتی مدار پایا شد تناوب T را از زمانسنج بخوانید.
معادلهٔ حاکم
قانون سوم کپلر — T² / r³ = 4π² / GM
برای هر مداری حول یک جرم مرکزی معین، مجذور تناوب با مکعب شعاع میانگین متناسب است: T²/r³ = 4π²/GM. این نسبت برای همهٔ مدارها یکسان است، پس زمانگیری یک مدار در شعاع معلوم، GM را آشکار میکند.
تندی مدار دایرهای — v = √(GM / r)
جسمی در مدار دایرهای به شعاع r باید با v = √(GM/r) حرکت کند: تندیای که گرانش را وادار میکند دقیقاً نیروی مرکزگرای لازم را تأمین کند. پرتاب با این تندی مدار را دایرهای نگه میدارد، نه بیضوی.
برگهٔ کار چاپی از دانشآموزان چه میخواهد به دست آورند
- برای هر ردیف T²/r³ را حساب کنید. آیا سه مقدار تقریباً برابرند؟ میانگین آنها را با 4π²/GM مقایسه کنید، با GM = 40 (بهطوریکه 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- خط T² برحسب r³ شما باید از مبدأ بگذرد. توضیح دهید چرا این شکل خطراستِ گذرنده از مبدأ دقیقاً همان چیزی است که T² = (4π²/GM)·r³ پیشبینی میکند، و شیب نمایانگر چیست.
کجا غیر از آزمایشگاه خودش را نشان میدهد
- سیارههای واقعی همین قانون را رعایت میکنند: عطارد (مدار کوچک) در 88 روز به دور خورشید میچرخد در حالی که نپتون (مدار بزرگ) 165 سال طول میکشد. با رابطهٔ T²/r³ = ثابت این تفاوت عظیم را توضیح دهید.
- ثابت کپلر اینجا 4π²/GM است، پس به جرم مرکزی بستگی دارد نه ماهواره. پیشبینی کنید اگر GM جرم مرکزی دو برابر میشد، با تناوب هر مداری چه میشد.
- AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
- AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
- IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
- IB Physics — D.1 Gravitational fields
- General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
- NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces
- به قانون کپلر گرانشی خوش آمدید
- انتخاب ماهواره
- Play را بفشارید
- تناوب و شعاع
- بازکردن دادهها
- انجامش دادید!
شبیهسازی تعاملی را باز کنید تا صحنه را بسازید، Play را بفشارید و با اندازهگیریهای زنده و آموزش هدایتشده کاوش کنید.
قوانین کپلر برای حرکت سیارهها