Orbites elliptiques : énergie, vitesse de fuite et excentricité
1 · Prédire
Un satellite est lancé latéralement dans un rayon r autour d'une masse centrale, à une vitesse inférieure à la vitesse de l'orbite circulaire. Trace-t-il une ellipse fermée, trace-t-il un cercle parfait ou s'envole-t-il pour ne jamais revenir ?
- Il s'installe dans une ellipse fermée et allongée et renvoie chaque orbite.
- Il détient un cercle parfait au rayon de lancement.
- Il s'échappe de la masse centrale et ne revient jamais.
2 · Configurer
- Ouvrez la simulation « orbite elliptique » et appuyez sur Réinitialiser. La masse centrale se trouve au milieu de la scène avec un paramètre gravitationnel GM = 40 m³/s².
- Activez les sondes d'énergie et d'excentricité sur le satellite afin que les deux invariants soient affichés en direct.
- Pour chaque essai ci-dessous, placez le satellite au rayon r sur l'axe des x, donnez-lui une vitesse de lancement purement latérale (tangentielle) v, appuyez sur Lecture et laissez-le terminer au moins une orbite avant d'enregistrer les lectures réglées de la sonde.
3 · Collecter les Données
| Paramètre gravitationnel GM (m³/s²) | Rayon de lancement r (m) | Vitesse de lancement tangentielle v (m/s) | Vitesse de sortie v_esc (m/s) | Énergie orbitale spécifique ε (J/kg) | Excentricité e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Tracez l’excentricité mesurée e (axe y) par rapport à l’énergie orbitale spécifique ε (axe x). À mesure que ε monte vers zéro, qu’arrive-t-il à la forme de l’orbite ?
4 · Analyser
- Calculez l'énergie orbitale spécifique ε = v²/2 − GM/r pour chaque ligne et confirmez le signe. Qu'est-ce qu'un ε négatif vous dit si le satellite est lié à la masse centrale ?
- Comparez chaque vitesse de lancement v à la vitesse d'échappement v_esc que vous avez calculée. Le lancement est tangentiel, donc h = r·v ; montrez que e = √(1 + 2εh²/GM²) reproduit l'excentricité que vous avez lue sur la simulation et expliquez pourquoi un lancement plus proche de la vitesse de fuite donne une ellipse plus allongée.
5 · Approfondir
- Pour chaque rayon de lancement, quelle vitesse tangentielle transformerait l’ellipse en un cercle parfait ? (Indice : v_circ = √(GM/r).) La vitesse de lancement de votre table est-elle supérieure ou inférieure à cette valeur, et comment cela explique-t-il la forme de l'orbite ?
- Les comètes à longue période ont des excentricités proches de 1. Qu'est-ce que cela implique sur leur vitesse à l'approche la plus proche par rapport à la vitesse de fuite locale - et pourquoi ne s'échappent-ils pas complètement du Soleil ?
La physique derrière cette expérience
Vitesse de fuite
La vitesse tangentielle minimale au rayon r qui permettrait au satellite d'échapper à la masse centrale. Un lancement en dessous de cette vitesse maintient ε négatif et l'orbite liée – une ellipse plutôt qu'une trajectoire non liée.
Vitesse orbitale circulaire
La vitesse tangentielle qui produit un cercle parfait de rayon r. Un lancement plus lent que cela (comme dans chaque essai ici) laisse tomber le satellite vers l'intérieur après le lancement, traçant une ellipse avec le point de lancement comme son apoapsis éloigné.